6弘前大学 2019年 数学 第6問解答・解説

・ $g(x)=x\log x-x+1$ とおく。自然対数の微分より $g'(x)=\log x$ である。よって $0<x<1$ では減少し、$x>1$ では増加する。$g(1)=0$ だから $g(x)\geq0$ であり、等号は $x=1$ のときに限る。

(i) $M(x)=(a^x+b^x)/2>0$ とおくと $f(x)=M(x)^{1/x}>0$ であり、 $$\displaystyle \log f(x)=\frac1x\log M(x).$$ したがって $$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=-\frac{\log M(x)}{x^2}+\frac1x\frac{a^x\log a+b^x\log b}{a^x+b^x}.$$ 一方、$A+B=2$ であり、定義から $$\displaystyle \begin{aligned} A\log A+B\log B &=2x\frac{a^x\log a+b^x\log b}{a^x+b^x}-2\log M(x). \end{aligned}$$ 上の二式を比べると $$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{A(x)\log A(x)+B(x)\log B(x)}{2x^2}$$ を得る。

(ii) $r=b/a$ とおくと $0<r<1$ であり、 $$\displaystyle A(x)=\frac2{1+r^x}>1,\qquad B(x)=\frac{2r^x}{1+r^x}<1.$$ (1)を $A(x),B(x)$ に適用すると $$A(x)\log A(x)+B(x)\log B(x)>(A(x)-1)+(B(x)-1)=0,$$ である。従って(i)より $f'(x)/f(x)>0$。$f(x)>0$ だから $f'(x)>0$ となり、$f$ は $x>0$ で増加する。

(iii) $r=b/a$ とおくと $0<r<1$ であり $$\displaystyle f(x)=a\left(\frac{1+r^x}{2}\right)^{1/x}.$$ $0<r^x<1$ だから $$\displaystyle \left(\frac12\right)^{1/x}<\left(\frac{1+r^x}{2}\right)^{1/x}<1.$$ $x\to\infty$ で左辺は $e^{-\log2/x}\to1$、右辺も1である。はさみうちの原理から括弧内の因子は1に収束し、$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=a$ となる。