2東京慈恵会医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=(3e^x-1)/(e^x+1)=3-4/(e^x+1)$ とおく。微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{4e^x}{(e^x+1)^2}>0, \qquad f''(x)=\frac{4e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}.$$ 従って $x<0$ では $f''(x)>0$ で下に凸，$x>0$ では $f''(x)<0$ で上に凸である。$x=0$ で凹凸が変わり，$f(0)=1$ なので変曲点は $(0,1)$。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=-1,\qquad \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=3.$$ よって概形は，水平漸近線 $y=-1,3$ の間を単調増加し，$(0,1)$ を変曲点とする曲線である。左端では $y=-1$ に上側から近づき，右端では $y=3$ に下側から近づく。

(2) $t=e^{x_P}>0$ とおく。接線の傾きが等しいことから $$\displaystyle \frac{4t}{(t+1)^2}=\frac{t}{a^2}.$$ $t>0$，$a>1$ より $t+1=2a$，すなわち $$x_P=\log(2a-1).$$ 曲線上の値は $$\displaystyle y_P=\frac{3(2a-1)-1}{2a}=3-\frac2a.$$ これが $C_2$ 上にもあるので $$\displaystyle b=y_P-\frac{t}{a^2}=3-\frac2a-\frac{2a-1}{a^2} =3-\frac4a+\frac1{a^2}.$$ 従って $$\displaystyle P=\left(\log(2a-1),\,3-\frac2a\right),\qquad b=3-\frac4a+\frac1{a^2}.$$

(3) $L=\log(2a-1)>0$ とする。$t=e^x$ とおき，(2)の $b$ を代入して整理すると $$\displaystyle C_2-C_1=\frac{t}{a^2}+b-\frac{3t-1}{t+1} =\frac{(t-(2a-1))^2}{a^2(t+1)}\ge0.$$ 等号は $x=L$ で成り立つので，求める面積は $$\displaystyle S(a)=\int_0^L(C_2-C_1)\,dx.$$ ここで $$\displaystyle \int_0^L C_2\,dx=\frac{e^L-1}{a^2}+bL =\frac{2(a-1)}{a^2}+bL,$$ また $C_1=3-4/(e^x+1)$ より $$\displaystyle \int_0^L C_1\,dx=\left[-x+4\log(1+e^x)\right]_0^L =-L+4\log a.$$ したがって $$\displaystyle S(a)=\frac{2(a-1)}{a^2} +\left(4-\frac4a+\frac1{a^2}\right)\log(2a-1)-4\log a.$$ 極限を調べるために $$\displaystyle S(a)=\frac{2(a-1)}{a^2}+4\log\left(2-\frac1a\right) +\left(-\frac4a+\frac1{a^2}\right)\log(2a-1)$$ と変形する。最初の項は0に収束し，対数を含む最後の項も $\log x/x\to0$ より0に収束する。従って $$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}S(a)=4\log2.$$