3東京慈恵会医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$m,n$ は正の整数であり，$x,y$ も自然数なので $x\ge1$。固定した $x$ について，二つの不等式が両立する条件は $$\displaystyle \frac{12n}{m}x\le -x^2+20nx \text{、すなわち} x\le n\left(20-\frac{12}{m}\right).$$ この範囲で最大の $y$ は整数である上限 $y=-x^2+20nx$ なので，目的値の最大候補は $$F(x)=y-x=-x^2+(20n-1)x$$ である。

(1) $m=1$ のとき，実行可能な整数は $1\le x\le8n$。隣り合う整数での差は $$F(x+1)-F(x)=20n-2x-2>0\qquad(1\le x\le8n-1)$$ だから，最大は $x=8n$ で得られる。このとき $$y=- (8n)^2+20n(8n)=96n^2, \qquad y-x=96n^2-8n.$$ 下限も $(12n/m)x=12n(8n)=96n^2$ となり，この組は実際に条件を満たす。

(2) $m\ge2$ のとき，$n(20-12/m)\ge14n$ なので，特に $x=10n-1,10n$ はどちらも実行可能である。平方完成すると $$\displaystyle F(x)=-\left(x-10n+\frac12\right)^2+\left(10n-\frac12\right)^2.$$ 頂点は二整数 $10n-1,10n$ の中点であるため，整数上の最大値はこの2点で同じになる。上限の式から $$\begin{array}{c|c|c} x&y=-x^2+20nx&y-x\\\hline 10n-1&100n^2-1&100n^2-10n\\ 10n&100n^2&100n^2-10n \end{array}$$ である。両点は実行可能であり，これが最大値である。

したがって，$m=1$ なら最大値は $96n^2-8n$，そのとき $(x,y)=(8n,96n^2)$。$m\ge2$ なら最大値は $100n^2-10n$，そのとき $(x,y)=(10n-1,100n^2-1)$ または $(10n,100n^2)$。