2帝京大学 2009年 数学 第2問解答・解説

条件 $2x+y=3$ から $y=3-2x$。$x\ge0$、$y\ge0$ より、$\displaystyle 0\le x\le\dfrac32$ である。

(1) $$3x+y=3x+(3-2x)=x+3.$$ これは $x$ が大きくなるほど大きくなるので、区間の右端 $\displaystyle x=\dfrac32$ で最大となる。その値は $$\displaystyle \frac32+3=\frac92.$$ したがって $\displaystyle \text{ア}=\dfrac92$。

(2) $y=3-2x$ を代入して平方完成すると $$\displaystyle x^2+2y^2=x^2+2(3-2x)^2 =9x^2-24x+18 =9\left(x-\frac43\right)^2+2.$$ $\displaystyle 0\le\dfrac43\le\dfrac32$ であるから、最小値は $\displaystyle x=\dfrac43$ のときの $2$ である。

また、この二次関数は上に開くので、閉区間での最大値は端点のいずれかでとる。端点での値は $$\displaystyle x=0\text{ のとき }18,\qquad x=\frac32\text{ のとき }\frac94.$$ よって最大値は $x=0$ のときの $18$ である。したがって $\displaystyle \text{イ}=0,\ \text{ウ}=18,\ \text{エ}=\dfrac43,\ \text{オ}=2$。