3自治医科大学 2008年 数学 第3問解答・解説

共通の値を $t$ とおくと、 $$x=3t-1,\qquad y=5t-2,\qquad z=7t-3.$$ 条件 $x\ge0,\ y\ge0,\ z\ge0$ より $$\displaystyle t\ge\frac13,\qquad t\ge\frac25,\qquad t\ge\frac37,$$ したがって $\displaystyle t\ge\frac37$ である。ここで $\displaystyle u=t-\frac37$ とおけば $u\ge0$ であり、 $$\displaystyle x=\frac27+3u,\qquad y=\frac17+5u,\qquad z=7u.$$ ゆえに $$\displaystyle x^2+y^2+z^2 =\left(\frac27+3u\right)^2+\left(\frac17+5u\right)^2+(7u)^2 =\frac5{49}+\frac{22}{7}u+83u^2 \ge\frac5{49}.$$ 等号は $u=0$、すなわち $\displaystyle t=\frac37$ のときに成立する。このとき $$\displaystyle (x,y,z)=\left(\frac27,\frac17,0\right)$$ であり、条件を満たす。したがって $\displaystyle m=\frac5{49}$ で、 $$49m=5.$$ 選択肢の記号では $\text{ハ}$ である。