自治医科大学／1次
2008年度の数学自治医科大学・全25問
- 1実数 x に対して， 2× 5^x+8× 5^(-x)-5 の最小値を求めよ。
- 22次方程式 x²+(2log105)x+log102.5=0 の2つの解を α,β とする。 2(10^(α)+10^(β)) の値を求めよ。
- 33つの実数 x,y,z について， (x+1)/3=(y+2)/5=(z+3)/7 (x≥0, y≥0, z≥0) が成立している時， x²+y²+z² の最小値を m とする。 49m の値…
- 4△ ABC において， ∠ B=30° ， ∠ C=45° ，外接円の半径が 10 となるとする。 △ ABC の面積を S とした時， S/(5(√3+1)) の値を求めよ。
- 5底面が1辺の長さ 6 の正方形で，高さが 4 の正四角錐のすべての面に内接する球の体積を V とする。 2V/π の値を求めよ。
- 61辺の長さが (√5-1) である正五角形の対角線1本の長さを求めよ。
- 7鋭角三角形 ABC ( ∠ A=45° ) について考える。 A から辺 BC に下ろした垂線と辺 BC との交点を H とする。 BH=2, HC=3 の時， AH の長さを求めよ。
- 8△ ABC の辺 BC,AC,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし， ∠ A=2θ ， ∠ B=3θ ， ∠ C=4θ に定めることとする。 (4(a+c))/bcosθ の値を求めよ。
- 9θ を任意の角度とする時， 4asinθ=15+3acosθ を満たす |a| の最小値を求めよ。
- 10sinθ-cosθ=√2/2 の時， 1/((sin³θ+cos³θ)²)=8a/27 となる。 a の値を求めよ。
- 11関数 f(θ)=4sin²θ+6sinθcosθ+2cos²θ の最大値を M とする。 ((M-3)²)/2 の値を求めよ。
- 12点 (a+2,2a-1) を頂点とする放物線 C: y=x²+px+q について考える。放物線 C は， a が変化するにしたがって，直線 y=mx-n に接しながら動くものとする。 n の値…
- 13円 C: (x+5)²+y²=89 と直線 L1: x+y=8 との交点を通り，直線 L2: x=-3 に接する半径 p,q (p>q) の2つの円が存在する時， (p-q)/2 の値を求めよ…
- 143直線 2x-y+4=0 ， 5x-4y-k=0 ， x+ky+22=0 が同一の点で交わる時， k (k>0) の値を求めよ。
- 153次方程式 x³+2px²+3qx+r=0 の2つの解の和が0である時， r/pq の値を求めよ。ただし， p,q,r はすべて0でない実数とする。
- 16x²+px+q=0 の2つの解を α,β とする。 x²-px-q=0 の2つの解が， α-1, β-1 となる時， q の値を求めよ。
- 17(x-a)/(x²+x+1)>(x-b)/(x²-x+1) を満たす x ( x は実数とする) の範囲が 1/2<x<1 である時， a の値を求めよ。
- 18数字 1,1,2,2,3,3,4,5,6 がそれぞれ書かれた9枚のカードを左から1列に並べ，9桁の自然数を作ることとする。奇数がすべて左から奇数番目にあるような異なる自然数の総数を X とする…
- 193個の袋 A,B,C がある。 A には白球4個と赤球1個， B には白球3個と赤球1個， C には白球2個と赤球1個がそれぞれ入っている。これらの袋からそれぞれ1個の球を取り出し，2個以上が…
- 206個の数字， 0,1,2,3,4,5 をそれぞれ1回ずつ使用して，6桁の整数を作るものとする。これらの6桁の整数すべてを小さい順に並べる時， 321450 は a 番目になる。 (300-a)…
- 21放物線 C を y=-x²+2x+1 とする。点 (2,5) から C にひいた2本の接線と C とで囲まれる部分の面積を S とする。 3S/2 の値を求めよ。
- 22関数 f(x)=ax³+bx²+(a²-40)x ( a≠0 ) は x=2 で極小となり， x=3 で極大となる。 |ab|/10 の値を求めよ。
- 232つの放物線， C1: y=x²+2x+4 ， C2: y=-2x²+1 について考える。 C1,C2 の両方に接する直線のなかでの最大の傾きを m とする。 m の値を求めよ。
- 243次関数 f(x)=x³-3px+p の極大値が正，極小値が負になる時， 実数 p (p>0) は p>1/A の条件を満たさなければならない。 A の値を求めよ。
- 252つの放物線 y=2x²-5x+5 ， y=-x²+px+q は，点 (1,2) で交わる。 関数 f(x) を 0≤ x≤ 1 で f(x)=2x²-5x+5 ， 1≤ x≤ 2 で f(x…