自治医科大学／前期
2018年度の数学自治医科大学・全25問
- 1整式 x⁴-4x+a が整式 x²-2bx+b² で割り切れるとき， a+b の値を求めよ。ただし， a,b は実数とする。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5…
- 2実数 x,y は， 29^x=49 ， 1421^y=2401 を満たす。 (2x-y)/xy の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ …
- 3自然数 7²⁰¹⁸ の一の位の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ 7，ラ 8，ワ 9。
- 4実数 x,y について， +3 =4 ， (x²+4y)=3 がともに成立しているとき， y-x の値を求めよ。ただし， x>0 ， y>0 ， x≠1 ， y≠1 とする。 選択肢（記号と値…
- 5sinθ+cosθ=1/2 であるとき， 2sin³θ+2cos³θ-3sinθcosθ+1/2 の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ…
- 6sin 3θ-sinθ=cos 3θ+cosθ; (0≤θ≤2π) を満たす θ の総和を a とする。 2a/π の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，…
- 7不等式 asin²x+6sin x+1≥0 （ a は実数）が常に成立するとする。 a の最小値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ 7，…
- 8x²+7xy+12y²+x+3y=9 を満たす整数の組 (x,y) はいくつあるか。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ 7，ラ 8，ワ 9。
- 9((√2+√2i)/(√3-i) )⁸=a+bi （ a,b は実数， i²=-1 ）となるとき， (b/a )² の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，…
- 10方程式 x³+x²-x+a=0 （ a は実数）が虚数解 cosθ+isinθ （ i²=-1 ， 0<θ<π/2 ）をもつとき， a の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ …
- 11円 C: x²-6x+y²-4y+9=0 と直線 :y=ax-a+1 について考える。直線 は円 C に接するとする。 |4a| の値を求めよ。ただし， a は実数とする。 選択肢（記号と値）…
- 12点 O を中心とする半径4の円を C とする。円 C の外部の点 P を通る直線が円 C と相異なる2つの点 A,B （弦 AB は円 C の中心 O を通らないとする）で交わることとする。 …
- 13実数 x,y は2つの不等式 (x-5)²+2y²≤25 ， (x-12)²+y²≤48 を満たすものとする。 y-x の最大値を M としたとき， (M+6)²3 の値を求めよ。 選択肢（記…
- 141辺の長さが a の正三角形 P1Q1R1 について考える。 △ P1Q1R1 の内接円を C1 とし， △ P1Q1R1 と円 C1 の接点を P2,Q2,R2 とする。 △ P2Q2R2 …
- 15△ ABC の内部の点 P について， 4→PA+5→PB+3→PC=→0 が成立しているとする。 △ PAB ， △ PBC ， △ PCA の面積をそれぞれ S1,S2,S3 としたとき，…
- 164つの点 A(0,-5,0) ， B(3,1,3) ， C(3,4,7) ， D(10,-3,a-3) が同一平面上にあるとき， |a+4| の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1…
- 17数列 xn が， x1=1 ， xn+1= 3xn+2xn+2 の条件を満たすとき，数列 xn の一般項は， xn= 4ⁿ-b2·4ⁿ⁻¹+a （ a,b は実数）となる。 b/a の値を求め…
- 18数列 an について， Sn= =1ⁿak とする。 Sn=n³-41n² であるとき，数列 an の最小値を m とする。 |m/70 | の値を求めよ。ただし， n は自然数とする。 選択…
- 191個のさいころを4回続けて投げたとき，出た目を順に a,b,c,d とする。 a+b+2c+2d≤10 となる確率を p とするとき， 216p の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ…
- 201000から9999までの4桁の整数が表記されたカードのなかから1枚のカードを無作為に選ぶこととする。選んだカードの整数において，同じ数字が2つ以上現れる（例えば，1123，5333など）確率…
- 212つの曲線 C1:y=x³-x²-12x-1 ， C2:y=-x³+2x²+a （ a は自然数）について考える。曲線 C1 と C2 が接するとき， a の値を求めよ。 選択肢（記号と値）：…
- 22x が0以上の実数であるとき，関数 f(x)= x⁴-2x³-x²+2x+34x²-x+3 の最小値を求めよ。 選択肢（記号と値）：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ …
- 23曲線 C:y=1/x （ x は実数， x>0 ）について考える。点 P(k,k) （ k は実数， k>0 ）から，曲線 C 上に存在する異なる2つの点 Q,R に対し引いた直線は，どちらも…
- 24曲線 C:y=x³-2x²+x （ x は実数）について考える。曲線 C 上を動く点を P(a,b) （ a,b は実数， 0<a<1 ）とする。原点 O と P を結ぶ線分と曲線 C とで囲…
- 25曲線 C:y=-x²+4 （ x は実数， -2<x<0 ）について考える。曲線 C 上の点 A における法線を とする。 と x 軸との交点を P ，原点を O としたとき，線分 OP の長…