9自治医科大学 2018年 数学 第9問解答・解説

分子と分母を極形式で表すと $$\displaystyle \sqrt2+\sqrt2\,i =2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right),\qquad \sqrt3-i =2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$ したがって商は $$\displaystyle \frac{\sqrt2+\sqrt2\,i}{\sqrt3-i} =\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}.$$ ド・モアブルの定理より $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt2+\sqrt2\,i}{\sqrt3-i}\right)^8 =\cos\frac{10\pi}{3}+i\sin\frac{10\pi}{3} =-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$ よって $\displaystyle a=-\frac12,\ b=-\frac{\sqrt3}{2}$ なので $$\displaystyle \left(\frac ba\right)^2 =\left(\frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12}\right)^2 =3.$$ したがって答えは $\boxed{3}$、共通選択肢では $\boxed{\text{タ}}$ である。