11自治医科大学 2018年 数学 第11問解答・解説

直線 $\ell$ の式を $y=a(x-1)+1$ として、円 $C$ の式に代入すると $$\begin{aligned} x^2-6x+\{a(x-1)+1\}^2-4\{a(x-1)+1\}+9=0, \end{aligned}$$ すなわち $$(a^2+1)x^2-2(a^2+a+3)x+(a^2+2a+6)=0$$ となる。$a^2+1>0$ なので、円と直線が接することは、この二次方程式が重解をもつこと、つまり判別式が0であることと同値である。

判別式 $D$ は $$\begin{aligned} D &=4\left\{(a^2+a+3)^2-(a^2+1)(a^2+2a+6)\right\}\\ &=4(4a+3). \end{aligned}$$ したがって $D=0$ より $\displaystyle a=-\frac34$ であり、 $$\displaystyle |4a|=\left|4\left(-\frac34\right)\right|=3.$$ 実際にこの値を $D=4(4a+3)$ に戻すと $D=0$ となる。よって答えは $\boxed{3}$、共通選択肢では $\boxed{\text{タ}}$ である。