3自治医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$7$ の累乗の一の位を順に調べると $$7^1=7,\qquad 7^2=49,\qquad 7^3=343,\qquad 7^4=2401$$ より、一の位は $7,9,3,1$ と4回ごとに繰り返す。実際、$7^4$ の一の位は1なので、$7^{4k+r}=(7^4)^k7^r$ の一の位は $7^r$ の一の位と同じである。

$$2018=4\cdot504+2$$ だから、$7^{2018}$ の一の位は $7^2$ の一の位に等しい。$7^2=49$ より、求める一の位は $$9$$ （共通選択肢はワ）。

検算：累乗の周期において指数を4で割った余りが2の場合は第2項に対応し、一の位は9である。