14自治医科大学 2018年 数学 第14問解答・解説

正三角形の内接円の接点は3辺の中点である。したがって、隣り合う接点を結んでできる次の正三角形は、元の正三角形の中点連結による三角形となり、1辺の長さは半分になる。第 $n$ 三角形の1辺を $s_n$ とすれば $$\displaystyle s_n=\frac{a}{2^{n-1}}.$$

1辺が $s$ の正三角形の高さは $\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}s$ だから、その面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}s^2$ である。一方、内接円の半径を $r$ とすると、内心から3辺へ分けた三角形の面積の和は $\displaystyle \frac{3sr}{2}$ である。よって $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}s^2=\frac{3sr}{2},\qquad r=\frac{\sqrt3}{6}s.$$ したがって第 $n$ 内接円の面積は $$\displaystyle S_n=\pi\left(\frac{\sqrt3}{6}s_n\right)^2 =\frac{\pi a^2}{12}\left(\frac14\right)^{n-1}.$$ 公比 $\displaystyle \frac14$ の無限等比級数なので $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n =\frac{\pi a^2}{12}\cdot\frac{1}{1-\frac14} =\frac{\pi a^2}{9}.$$ よって $$\displaystyle \frac{36}{\pi a^2}\sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n=4$$ （共通選択肢はナ）。

検算：各段階で辺の長さは $\displaystyle \frac12$ 倍となるため、円の面積は $\displaystyle \frac14$ 倍ずつとなる。第1項は $\displaystyle \frac{\pi a^2}{12}$ であり、和はその $\displaystyle \frac43$ 倍、すなわち $\displaystyle \frac{\pi a^2}{9}$ となる。