17自治医科大学 2018年 数学 第17問解答・解説

まず、$x_1=1>0$ であり、$x_n>0$ ならば漸化式から $x_{n+1}>0$ となる。したがって、すべての自然数 $n$ について $x_n>0$ であり、以下の変形で現れる分母 $x_n+1,\ x_n+2$ は零でない。

問題文の指示に従って $$\displaystyle y_n=\frac{x_n-2}{x_n+1}$$ とおく。漸化式より $$\displaystyle x_{n+1}-2=\frac{x_n-2}{x_n+2},\qquad x_{n+1}+1=\frac{4(x_n+1)}{x_n+2}$$ だから、 $$\displaystyle y_{n+1}=\frac{x_{n+1}-2}{x_{n+1}+1}=\frac{1}{4}y_n.$$ また $y_1=(1-2)/(1+1)=-1/2$ なので、 $$\displaystyle y_n=-\frac{1}{2\cdot4^{n-1}}.$$ $y_n=(x_n-2)/(x_n+1)$ を $x_n$ について解くと $x_n=(2+y_n)/(1-y_n)$ である。よって $$\displaystyle x_n=\frac{2-\dfrac{1}{2\cdot4^{n-1}}}{1+\dfrac{1}{2\cdot4^{n-1}}} =\frac{4^n-1}{2\cdot4^{n-1}+1}.$$ この式は $n=1$ で $x_1=1$ を与え、$q=4^{n-1}$ とおけば $$\displaystyle \frac{3x_n+2}{x_n+2} =\frac{16q-1}{8q+1}=x_{n+1}$$ となるので、漸化式も満たす。

提示された形と係数を確かめるため、$n=1,2$ を用いる。$n=1$ では $1=(4-b)/(2+a)$ より $a+b=2$。また、求めた一般項から $x_2=5/3$ なので、$n=2$ では $$\displaystyle \frac{5}{3}=\frac{16-b}{8+a},\qquad 5a+3b=8.$$ これらを解いて $a=1,\ b=1$。したがって $$\displaystyle \frac{b}{a}=1$$ であり、選択肢はカである。