6自治医科大学 2018年 数学 第6問解答・解説

加法定理から $$\sin3\theta-\sin\theta=2\cos2\theta\sin\theta, \qquad \cos3\theta+\cos\theta=2\cos2\theta\cos\theta.$$ したがって与式は $$2\cos2\theta(\sin\theta-\cos\theta)=0$$ と同値である。

よって $\cos2\theta=0$ または $\sin\theta=\cos\theta$。後者なら $$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=0$$ となるため、解全体は $\cos2\theta=0$ の解である。範囲 $0\leq\theta\leq2\pi$ では $$\displaystyle \theta=\frac\pi4,\quad\frac{3\pi}4,\quad\frac{5\pi}4,\quad\frac{7\pi}4.$$ その総和は $$\displaystyle a=\frac{(1+3+5+7)\pi}{4}=4\pi.$$ したがって $$\displaystyle \frac{2a}{\pi}=8$$ （共通選択肢はラ）。

検算：この4解はいずれも $\cos2\theta=0$ を満たすので、因数分解した左辺は0となる。第2因子 $\sin\theta-\cos\theta=0$ の解も上記4解に含まれるため、重複計数はない。