2浜松医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(t)=t-\sin t$ とおくと，$f(0)=0$，$f'(t)=1-\cos t\geq0$ である。さらに任意の $x>0$ に対し，$\displaystyle 0<t<\min\{x,\pi\}$ を満たす各 $t$ について $1-\cos t>0$ だから， $$\displaystyle x-\sin x=f(x)-f(0)=\int_0^x(1-\cos t)\,dt>0.$$ よって $x>\sin x$ である。

(2) $10^\circ=\pi/18$ なので，(1) に $x=\pi/18$ を代入して $\sin10^\circ<\pi/18$ を得る。

次に $s=\sin10^\circ$ とおく。$0<10^\circ<30^\circ<90^\circ$ であり，$\sin\theta$ は $0^\circ\leq\theta\leq90^\circ$ で増加するから，$0<s<1/2$ である。三倍角の公式と $\sin30^\circ=1/2$ より $$\displaystyle \frac12=\sin30^\circ=3s-4s^3, \qquad 8s^3-6s+1=0.$$ もし $s\leq1/6$ ならば，$s>0$ より $$8s^3-6s+1=8s^3+(1-6s)>0$$ となり，得られた等式に矛盾する。したがって $s>1/6$ であり， $$\displaystyle \frac16<\sin10^\circ<\frac{\pi}{18}$$ が成り立つ。