3浜松医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) 元の条件を $P(a,b,c)$ と書く。$a=b=c=0$ とすると $3f(0)^2=0$ だから $f(0)=0$ である。また $P(x,y,0)$ より $$f(y)\{f(x)+f(-x)\}=0$$ を得る。$f\equiv0$ なら結論は明らかである。そうでなければ $f(y_0)\ne0$ となる $y_0$ があるので、上式に $y=y_0$ を代入すると、すべての実数 $x$ について $f(-x)=-f(x)$ となる。

(2) $P(u,-v-r,-r)$ に奇関数であることを用いると $$-f(u)f(v)+f(v+r)f(u+r)-f(r)f(u+v+r)=0$$ となる。したがって $$f(u+r)f(v+r)-f(u)f(v)=f(r)f(u+v+r). \tag{1}$$ (1) で $r=y/2,\ u=x+(k-1)y/2,\ v=ky/2$ とおくと $$\displaystyle f\!\left(x+\frac{k y}{2}\right)f\!\left(\frac{(k+1)y}{2}\right) -f\!\left(x+\frac{(k-1)y}{2}\right)f\!\left(\frac{k y}{2}\right) =f\!\left(\frac y2\right)f(x+ky).$$ これを $k=0,1,\ldots,n$ について加えると左辺では隣り合う項が打ち消し合い、 $$\displaystyle f\!\left(\frac y2\right)\sum\limits _{k=0}^{n}f(x+ky) =f\!\left(x+\frac{ny}{2}\right)f\!\left(\frac{(n+1)y}{2}\right) -f\!\left(x-\frac y2\right)f(0).$$ $f(0)=0$ だから、示すべき式を得る。

(3) $s=t$ なら両辺とも $0$ である。$s\ne t$ とし、正の整数 $n$ に対して $y_n=(t-s)/n$ とおく。(2) に $x=s,\ y=y_n$ を代入すると $$\displaystyle f\!\left(\frac{y_n}{2}\right)\sum\limits _{k=0}^{n}f(s+ky_n) =f\!\left(\frac{s+t}{2}\right)f\!\left(\frac{t-s}{2}+\frac{y_n}{2}\right). \tag{2}$$ $f(0)=0,\ f'(0)=1$ より $f(h)/h\to1$ である。よって十分大きい $n$ では $f(y_n/2)\ne0$ であり、 $$\displaystyle \frac{y_n}{f(y_n/2)}\longrightarrow2.$$ (2) にこの比を掛ける。左辺は、端点の項 $y_nf(t)$ が $0$ に収束することから、リーマン和の極限として $\displaystyle \int_s^t f(x)\,dx$ に収束する。右辺は $$\displaystyle 2f\!\left(\frac{s+t}{2}\right)f\!\left(\frac{t-s}{2}\right)$$ に収束する。$f$ は連続で $F'=f$ だから、$\displaystyle \int_s^t f(x)\,dx=F(t)-F(s)$ である。したがって $$\displaystyle \frac{F(t)-F(s)}{2} =f\!\left(\frac{s+t}{2}\right)f\!\left(\frac{t-s}{2}\right)$$ が成立する。