4浜松医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

x=P(A), y=P(B), z=P(A∩B) とおく。確率の加法性から、 $$Q=(z,x-z),\qquad R=(y-z,1-x-y+z)$$ である。原点O,Q,Rが一直線上にある条件を成分で確認する。$Q=(q_1,q_2)$、$R=(r_1,r_2)$ とする。Qが零ベクトルならO=Qなので3点は一直線上にあり、$q_1r_2-q_2r_1=0$ である。Qが零でなく、$q_1\ne0$ なら、$q_1r_2-q_2r_1=0$ から $r_2=(r_1/q_1)q_2$ となり、RはQの実数倍である。$q_1=0$ なら $q_2\ne0$ で、$q_1r_2-q_2r_1=0$ から $r_1=0$、従って $R=(r_2/q_2)Q$。逆にRがQの実数倍なら$q_1r_2-q_2r_1=0$ である。よって、零ベクトルの場合も含め、3点が一直線上にあることと$q_1r_2-q_2r_1=0$ は同値である。 $$q_1r_2-q_2r_1 =z(1-x-y+z)-(x-z)(y-z)=z-xy.$$ したがってqは $z=xy$、すなわち $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ と同値であり、これはA,Bが独立であることの定義である。よってpとqは同値である。$q_1r_2-q_2r_1=0$ による判定は零ベクトルが含まれる場合にも成り立つ。