1北里大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) $z^6=8$ の根の偏角は $k\pi/3$。実部が正で虚部が負となるものは $$\displaystyle z=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right) =\frac1{\sqrt2}-\frac{\sqrt6}{2}i.$$ また $\displaystyle z^5=4\sqrt2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$ だから $$\displaystyle z+z^5=\frac{5\sqrt2}{2}+\frac{3\sqrt6}{2}i.$$ 円の中心から実軸までの距離は $|\operatorname{Im}z|=\sqrt6/2$。実軸との弦の長さより $$\displaystyle 2\sqrt{r^2-\frac32}=\sqrt{30},\qquad r=3.$$ 非負整数 $m,n$ に対し、格子点 $m+ni$ が円の内部にある条件は $$(m-1/\sqrt2)^2+(n+\sqrt6/2)^2<9, \quad\text{すなわち}\quad m^2+n^2-\sqrt2m+\sqrt6n<7.$$ $n=0$ では $m=0,1,2,3$ の4個、$n=1$ では $m=0,1,2$ の3個が該当する。$n\ge2$ では $$\displaystyle m^2-\sqrt2m+n^2+\sqrt6n\ge-\frac12+4+2\sqrt6>7$$ なので該当しない。従って個数は7。

(2) $u=x,\ v=y-1$ と置くと $u^2+v^2\le1$。 $$\displaystyle \frac{x-y-1}{x+y-3} =\frac{2-u+v}{2-u-v}.$$ 分母は $2-u-v\ge2-\sqrt2>0$。$\lambda=2+\sqrt3$ とすると $$\lambda(2-u-v)-(2-u+v) =2(\lambda-1)-\{(\lambda-1)u+(\lambda+1)v\}.$$ 中括弧はベクトル $(\lambda-1,\lambda+1)$ と $(u,v)$ の内積であり、内積は二つのベクトルの長さの積以下だから、高々 $$\sqrt{(\lambda-1)^2+(\lambda+1)^2}\sqrt{u^2+v^2} \le\sqrt{2(\lambda^2+1)}=2(\lambda-1)$$ である。よって最初の比は $\lambda$ 以下で、$(u,v)=(1/2,\sqrt3/2)$ のとき等号となるから、最大値は $2+\sqrt3$。 $$\displaystyle x(y-1)=uv\le\frac{u^2+v^2}{2}\le\frac12,$$ 等号は $u=v=1/\sqrt2$ で成り立ち、最大値は $1/2$。 最後の比は $$\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{y^2-2y-3} =-\frac{(3-u)^2}{4-v^2}.$$ $u\le1$ より $$(3-u)^2-(4-v^2) =(1-u)^2+4(1-u)+v^2\ge0.$$ 従ってこの比は $-1$ 以下であり、$(u,v)=(1,0)$ で等号となる。最大値は $-1$。

(3) $\alpha+\beta=6,\ \alpha\beta=-1$ だから $$A_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=38, \qquad A_3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=234.$$ 各根は $t^2=6t+1$ を満たすため $$A_{n+2}=6A_{n+1}+A_n.$$ $A_0=2,A_1=6$ としてこの漸化式を10を法として計算すると、$A_n$ の一巡は $2,6,8,4$ で周期4。さらに $-1<\beta=3-\sqrt{10}<0$ より、$-1<\beta^{111}<0$ なので $$A_{111}<\alpha^{111}=A_{111}-\beta^{111}<A_{111}+1.$$ 従って $K=A_{111}$。$111\equiv3\pmod4$ より $K$ を10で割った余りは4。

(4) $$5040=2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7 \quad\text{より}\quad f(5040)=5\cdot3\cdot2\cdot2=60.$$ $f(k)=15$ となる素因数指数の型は $k=p^{14}$ または $k=p^4q^2$（$p,q$ は異なる素数）。前者の最小は $2^{14}$。後者で素数が $2,3$ のときは $2^4\cdot3^2=144$ と $2^2\cdot3^4=324$ になり、他の素数対では最小でも $2^4\cdot5^2=400$ である。従って2番目は324。

大小2つのさいころの36通りは順序つきである。$f(l)=4$ となる積は $l=p^3$ または相異なる素数の積で、1から36の範囲でさいころの目の積として現れるのは $$l=6,8,10,15.$$ これらを作る順序つきの目はそれぞれ4通り、2通り、2通り、2通りで計10通り。確率は $10/36=5/18$。

$a=f(m),\ b=f(n)$ とおく。$(m,n)=1$ より $f(mn)=ab$ なので、条件は $$ab=3a+5b-13,\qquad\text{すなわち }(a-5)(b-3)=2.$$ $a,b$ は正整数だから可能性は $(a,b)=(6,5),(7,4),(4,1),(3,2)$。$(4,1)$ では $n=1$ であり、$f(m)=4$ を満たす最小の $m$ は6なので $mn=6$ が得られる。他の組では $a\ge3,b\ge2$ となり $m,n\ge2$。互いに素な2以上の整数の積が6以下となるのは2と3の組だけだが、そのとき $(a,b)=(2,2)$ で候補にない。従って他の組では $mn>6$。最小にする組は $$\boxed{(m,n)=(6,1)}.$$