2北里大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$L=\log2$ とおく（$0.6<L<0.7$）。 (1) $f'(x)=L2^x-2x$。$x\ge4$ では $$f''(x)=L^2 2^x-2>0.6^2\cdot16-2>0.$$ したがって$f'$は増加し、$f'(4)=16L-8>16\cdot0.6-8>0$。よって$x\ge4$で$f'(x)>0$、すなわち$f$は増加する。 (2) $f'''(x)=L^3 2^x>0$ なので$f''$はxが大きくなると値は必ず大きくなり、ただ一度だけ0を通る。よって$f'$は一度減少し、その後一度増加する。符号は $$f'(0)=L>0,\quad f'(1)=2L-2<0,\quad f'(4)=16L-8>0.$$ 従って減少区間に1個、増加区間に1個、合計2個の異なる実数解をもつ。 (3) $f(-1)=1/2-1<0<f(0)=1$ より$-1<x<0$に根がある。また$f(2)=f(4)=0$。従って少なくとも3個の異なる実数解がある。(2)より$f'$の零点は2個だけなので、ロルの定理から$f$の零点は3個を超えない。従って異なる実数解は3個。 (4) 最小根$p$は$-1<p<0$。$p\le x\le0$で曲線の差は $$\displaystyle f(x)-\left(-x^2+\frac{2}{L}x\right)=2^x-\frac{2x}{L}>0.$$ よって面積は $$\displaystyle \int_p^0\left(2^x-\frac{2x}{L}\right)dx =\frac{1-2^p+p^2}{L}.$$ $f(p)=0$より$2^p=p^2$だから、面積は$\boxed{1/L}=\boxed{1/\log2}$。

(1)では$f''$が$x\ge4$で正なので$f'$が増加し、$f'(4)>0$から増加性を示せます。(2)では$f'''$が常に正のため$f''$は一度だけ0を通り、$f'$は減少後に増加します。$f'$は0で正、1で負、4で正なので、零点はちょうど2個です。(3)は負の範囲にある根を符号変化で確保し、$x=2,4$の根を確認します。$f'$の零点が2個という結果とロルの定理で、これら以外に根がないと分かります。(4)は二曲線の差が$p\le x\le0$で正であることを確認して積分し、$2^p=p^2$を使います。