4札幌医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f'(x)=\frac12(e^{x/a}-e^{-x/a})$ なので、$P$ における傾きは $\displaystyle \frac12(e-e^{-1})$。また $\displaystyle f(a)=\frac a2(e+e^{-1})$ だから接線は $$\displaystyle \ell:\ y=\frac a2(e+e^{-1})+\frac12(e-e^{-1})(x-a) =\frac ae+\frac12(e-e^{-1})x.$$ よって $y$ 切片は $a/e$。

(2) $u=x/a$ と置き、接線と曲線の差を $$\displaystyle h(u)=\frac{f(au)-\ell(au)}a=\frac{e^u+e^{-u}}2-\frac{e+e^{-1}}2-\frac{e-e^{-1}}2(u-1)$$ とする。$h(1)=0$ かつ $\displaystyle h'(u)=\frac{e^u-e^{-u}}2-\frac{e-e^{-1}}2$ である。関数 $(e^u-e^{-u})/2$ は導関数 $(e^u+e^{-u})/2>0$ を持つため増加する。従って $u<1$ では $h'(u)<0$、$u>1$ では $h'(u)>0$。ゆえに $h$ は $u=1$ でただ一度最小値0を取り、曲線と接線は $P$ 以外で交わらない。特に $0\le x<a$ では $f(x)>\ell(x)$。

(3) 領域は $0\le x\le a$ で曲線が上、接線が下なので、$s=(e-e^{-1})/2$ とおけば $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^a(f(x)-\ell(x))\,dx\\ &=a^2s-\left(\frac{a^2}{e}+\frac{a^2s}{2}\right) =\boxed{\frac{a^2}{4}\left(e-\frac5e\right)}. \end{aligned}$$

(4) $0\le x\le a$ では両曲線は $x$ 軸より上にあるため、回転断面は外半径 $f(x)$、内半径 $\ell(x)$ の円環となる。$t=x/a$ と置換すると $$\displaystyle V=\pi a^3\int_0^1\left\{\frac{(e^t+e^{-t})^2}{4}-(e^{-1}+st)^2\right\}dt.$$ ここでそれぞれを展開し積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1\frac{(e^t+e^{-t})^2}{4}dt &=\frac14\int_0^1(e^{2t}+2+e^{-2t})dt\\ &=\frac12+\frac{e^2-e^{-2}}8,\\ \int_0^1(e^{-1}+st)^2dt&=e^{-2}+\frac{s}{e}+\frac{s^2}{3}. \end{aligned}$$ したがって $s=(e-e^{-1})/2$ を戻して整理すると $$\displaystyle V=\boxed{\frac{\pi a^3}{24}\left(e^2+4-\frac{17}{e^2}\right)}.$$