札幌医科大学 2021年数学第3問解答・解説

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1問題

札幌医科大学2021年度第3問

$k,m,n$ は自然数とする。

ある箱に、白い球が $m$ 個、赤い球が $n$ 個入っている。この箱から無作為に球を1個取り出して、球の色を確認してから元の箱に戻す試行を繰り返す。白い球が合計 $k$ 回箱に戻された時点で終了する。このときの試行の回数が $x$ 回（ $x\geq k$ ）である確率を $p_k(x)$ とする。

(1) $p_k(k)$ と $p_k(k+1)$ を $k,m,n$ を用いて表せ。

(2) $\displaystyle \frac{p_k(x+1)}{p_k(x)}$ を $k,m,n,x$ を用いて表せ。

(3) $m=3,\ n=7$ であるとき、 $p_2(x)$ の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad p_k(k)=\left(\frac{m}{m+n}\right)^k,\quad p_k(k+1)=k\left(\frac{m}{m+n}\right)^k\frac{n}{m+n}\quad$ 。 (2) $\displaystyle \quad \frac{p_k(x+1)}{p_k(x)}=\frac{nx}{(m+n)(x-k+1)}\quad$ 。 (3) 最大値 $\quad 1323/10000\quad$ （ $\quad x=4\quad$ ）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

白球確率を $m/(m+n)$ 、赤球確率を $n/(m+n)$ とする。終了が第x回なら最終回に白球、前のx−1回では白球がちょうどk−1回だから $\displaystyle p_k(x)=\binom{x-1}{k-1}\left(\frac{m}{m+n}\right)^k\left(\frac{n}{m+n}\right)^{x-k}\quad(x\ge k).$ これから $p_k(k)$ 、 $p_k(k+1)$ を得て、隣接項の比は $\displaystyle \frac{p_k(x+1)}{p_k(x)}=\frac{\binom{x}{k-1}}{\binom{x-1}{k-1}}\frac{n}{m+n}=\frac{nx}{(m+n)(x-k+1)}.$ $m=3,n=7,k=2$ のとき比は $7x/(10(x-1))$ 。これは $x<10/3$ で1より大きく、 $x\ge4$ で1より小さいから最大は $x=4$ 。 $\displaystyle p_2(4)=\binom31(3/10)^2(7/10)^2=1323/10000.$

この問題で使う考え方

負の二項型の計数
隣接項比による最大化

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