1札幌医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) $C=\pi-(A+B)$ より、条件は $$\sin A\cos B+\cos A\sin B=2\cos A\sin B\text{。}$$したがって $\sin(A-B)=0$。$-\pi<A-B<\pi$ なので $A=B$。逆も成り立つ。よって $\boxed{CA=CB\text{ の二等辺三角形}}$（正三角形を含む）。

(2) $N=(n+2)(3n+4)$。$3n+4$ は3の倍数でないから、$9\mid N$ と $n\equiv7\pmod9$ は同値。一方、$N=3n^2+10n+8$ は $n$ が偶数なら4の倍数で、奇数なら4で割った余りが1。よって36の倍数となる必要十分条件は $n$ が偶数かつ $n\equiv7\pmod9$。結論は $$\boxed{n=18k+16\quad(k=0,1,2,\ldots)}.$$

(3) 底面半径を $r>0$、高さを $h>0$ とすると $r^2h=\sqrt2$。側面積を $S$ とすれば $S=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$ なので $$\displaystyle \frac{S^2}{\pi^2}=r^4+\frac2{r^2}=u^2+\frac2u\quad(u=r^2>0).$$ $u^2+2/u-3=(u-1)^2(u+2)/u\ge0$、等号は $u=1$。したがって最小値は $\boxed{\sqrt3\pi}$。$r=1,h=\sqrt2$ で実現する。