3長崎大学 2010年 数学 第3問解答・解説

$\angle A=\pi/2$、$\angle B=\alpha$、$\angle BAP=\theta$ とする。円周角と正弦定理から $$BC=2R,\quad AB=2R\cos\alpha,\quad AP=2R\cos(\alpha-\theta).$$ (1) よって $$\displaystyle [ABP]=\frac12 AB\cdot AP\sin\theta =R^2\cos\alpha\{\sin\alpha+\sin(2\theta-\alpha)\}.$$ $\sin(2\theta-\alpha)\le1$ で、等号を与える $\theta=\pi/4+\alpha/2$ は $0<\alpha,\theta<\pi/2$ の範囲にある。従って最大値は $R^2\cos\alpha(1+\sin\alpha)$。

(2) 四角形ABPCは円に内接し、$\angle BPC=\pi-\angle BAC=\pi/2$。また同じ弧BPに対する円周角から $\angle BCP=\theta$。斜辺BC=2Rより $BP=2R\sin\theta$、$PC=2R\cos\theta$。従って $$\displaystyle [BPC]=\frac12 BP\cdot PC=R^2\sin2\theta.$$

(3) $\alpha=\pi/3$ のとき面積和は $$\displaystyle S=R^2\left\{\frac{\sqrt3}{4}+\frac14(5\sin2\theta-\sqrt3\cos2\theta)\right\}.$$ ここで $u=2\theta$ とおく。$5\sin u-\sqrt3\cos u$ の振幅は $\sqrt{25+3}=2\sqrt7$。最大値は$2\sqrt7$であり、最大となる角$u$は次を満たす：$$\displaystyle \sin u=\frac{5}{2\sqrt7},\qquad \cos u=-\frac{\sqrt3}{2\sqrt7}.$$これは第2象限の角であり $0<u<\pi$、したがって $\theta=u/2$ は問題の許容範囲内にある。よって最大値は $R^2(\sqrt3/4+\sqrt7/2)$。