宮崎大学 2023年数学第3問解答・解説

図形と計量図形と方程式

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1問題

宮崎大学2023年度第3問

座標平面上に2点 $A(-1,0), B(1,0)$ がある。また、点 $P(x,y)$ が $x>1, y>0$ を満たしながら座標平面上を動くとする。このとき、次の各問に答えよ。

(1) $\displaystyle \tan\frac{\pi}{12}$ の値を求めよ。

(2) $\tan\angle APB$ を、 $x$ と $y$ を用いて表せ。

(3) 点 $P$ が $\displaystyle x>1, y>0, \angle APB\leq\frac{\pi}{12}$ を満たしながらくまなく動くとき、点 $P$ の動きうる領域を座標平面上に図示せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$2-\sqrt3$
(2)
$\displaystyle \frac{2y}{x^2+y^2-1}$
(3)
$x>1,\quad y>0,\quad x^2+(y-2-\sqrt3)^2\geq8+4\sqrt3$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

大問3

(1) $\tan(\pi/12)=\tan(45^\circ-30^\circ)$ より $\displaystyle \tan\frac{\pi}{12} =\frac{1-1/\sqrt3}{1+1/\sqrt3}=2-\sqrt3.$

(2) $\overrightarrow{PA}=(-1-x,-y)$ 、 $\overrightarrow{PB}=(1-x,-y)$ だから $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x^2+y^2-1,\qquad |\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{PB}|=2y.$ $x>1$ より内積は正であり、 $\displaystyle \boxed{\tan\angle APB=\frac{2y}{x^2+y^2-1}}.$

(3) $0<\angle APB\le\pi/12<\pi/2$ なので、(1)(2)から $\displaystyle \frac{2y}{x^2+y^2-1}\le2-\sqrt3$ と同値である。従って、領域は $x>1,\ y>0$ のうち $\displaystyle x^2+y^2-\frac{2}{2-\sqrt3}y-1\ge0$ を満たす部分、すなわち $\displaystyle \boxed{x^2+\left(y-\frac1{2-\sqrt3}\right)^2 \ge1+\frac1{(2-\sqrt3)^2}}$ で表される円の外部である（円周を含む。ただし $x=1$ と $y=0$ は除く）。

この問題で使う考え方

加法定理
内積と外積
円の方程式

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