宮崎大学 2023年数学第2問解答・解説

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1問題

宮崎大学2023年度第2問

表に $A$ 、裏に $B$ と書かれたコインがある。このコインを $n$ 回投げる試行を行い、 $A$ が出た回数と同じ枚数のイヌの絵はがき、 $B$ が出た回数と同じ枚数のネコの絵はがきを貰えるとする。例えば、 $n=3$ のとき、 $ABA$ と出たら、イヌの絵はがきを2枚、ネコの絵はがきを1枚貰える。このとき、次の各問に答えよ。ただし、使用するコインは、表、裏がそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{2}$ の確率で出るものとする。

(1) $n=3$ のとき、イヌの絵はがきを2枚以上貰える確率を求めよ。

(2) $n=3$ のとき、イヌとネコのどちらの絵はがきも貰える確率を求めよ。

(3) $n\geq 3$ のとき、 $A$ が連続して3回以上出たら、貰えるイヌやネコの絵はがきに追加してウシの絵はがきも貰えることにする。 $n=6$ のとき、イヌ、ネコ、ウシのいずれの絵はがきも貰える確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \frac{1}{2}$ (2) $\displaystyle \frac{3}{4}$ (3) $\displaystyle \frac{19}{64}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) 3回のうち表が2回以上出る結果は、表が2回の3通りと3回の1通りです。したがって確率は $4/8=1/2$ です。

(2) イヌとネコの両方をもらうには、表と裏が両方出ればよいです。全表・全裏の2通りだけを除けばよく、確率は $6/8=3/4$ です。

(3) 長さ6の列で $AAA$ が出ない列は44通りです。末尾が連続する表0個、1個、2個の場合に分けると、個数はそれぞれ長さ $n-1,n-2,n-3$ の該当列数となるため、 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$ です。初期値 $1,2,4$ から $a_6=44$ 。よって $AAA$ を含む列は $64-44=20$ 通りです。全て表の1通りはネコをもらえないので、求める確率は $(20-1)/64=19/64$ です。

答

(1) $1/2$ 、(2) $3/4$ 、(3) $19/64$ 。

この問題で使う考え方

二項分布
余事象による数え上げ
漸化式による列数計算

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