東北大学 2025年数学第1問解答・解説

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1問題

東北大学2025年度第1問

原点を出発点として数直線上を動く点 P がある。試行 (*) を次のように定める。

(*) $\left\{\begin{array}{l}1\text{枚の硬貨を1回投げて,}\\ \bullet\text{表が出た場合は点Pを正の向きに1だけ進める。}\\ \bullet\text{裏が出た場合は1個のさいころを1回投げ,}\\ \text{奇数の目が出た場合は点Pを正の向きに1だけ進め,}\\ \text{偶数の目が出た場合は点Pを負の向きに2だけ進める。}\end{array}\right.$

ただし, 硬貨を投げたとき表裏の出る確率はそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{2}$ , さいころを投げたとき 1 から 6 までの整数の目の出る確率はそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{6}$ とする。このとき, 以下の問いに答えよ。

(1) 試行 (*) を 3 回繰り返したときに, 点 P が原点にもどっている確率を求めよ。

(2) 試行 (*) を 6 回繰り返したときに, 点 P が原点にもどっている確率を求めよ。

(3) n を 3 で割り切れない正の整数とする。試行 (*) を n 回繰り返したときに, 点 P が原点にもどっている確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle \frac{27}{64}$ 。
(2)
$\displaystyle \frac{1215}{4096}$ 。
(3)
0。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

1回の変位が $+1$ となるのは、コインが表の場合、または裏の後にサイコロが奇数となる場合である。従って $\displaystyle P(+1)=\frac12+\frac12\cdot\frac36=\frac34,\qquad P(-2)=\frac12\cdot\frac36=\frac14.$ 各回は独立である。 $n$ 回中に $-2$ となる回数を $k$ とすると、残りの $n-k$ 回は $+1$ だから、合計変位は $(n-k)-2k=n-3k.$ 原点に戻るには $n-3k=0$ 、すなわち $k=n/3$ が必要である。

(1) $n=3$ では $k=1$ なので、二項分布から $\displaystyle \binom31\left(\frac14\right)\left(\frac34\right)^2=\frac{27}{64}.$

(2) $n=6$ では $k=2$ なので $\displaystyle \binom62\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^4=\frac{1215}{4096}.$

(3) $3\nmid n$ なら $n/3$ は整数でないため、条件を満たす整数 $k$ はない。したがって復帰確率は $0$ 。

この問題で使う考え方

余事象ではなく場合の数を直接計数
二項分布
期待値・確率変数

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