5福井大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1) 赤玉の個数を $Y$ とすると、$Y\sim\operatorname{Bin}(3,0.6)$ であり、$E[Y]=3\cdot0.6=1.8$ である。賞金の期待値は $100E[Y]=180$ 円だから、参加料を差し引いた期待収支は $180-200=-20$ 円となる。期待値に基づけば参加は得ではない。

(2) $X\sim\operatorname{Bin}(600,0.6)$ の平均と標準偏差は $\mu=600\cdot0.6=360$、$\sigma=\sqrt{600\cdot0.6\cdot0.4}=12$ である。正規近似に連続補正を用いると、 $$\displaystyle P(X\le339)\approx P\!\left(Z\le\frac{339.5-360}{12}\right)=P(Z\le-1.7083\ldots)\approx P(Z\le-1.71).$$ 付属表より $P(0\le Z\le1.71)=0.4564$ なので、$P(Z\le-1.71)=0.5-0.4564=0.0436$。小数第3位を四捨五入して小数第2位まで表すと $0.04$ である。

(3) 赤玉の割合を $p$ とし、$H_0:p=0.6$、$H_1:p\ne0.6$ とする。帰無仮説の下では $X\sim\operatorname{Bin}(1350,0.6)$、平均は $810$、標準偏差は $\sqrt{1350\cdot0.6\cdot0.4}=18$ である。観測値 $844$ を標準化すると $$\displaystyle z=\frac{844-810}{18}=1.888\ldots\approx1.89.$$ 表の $P(0\le Z\le1.89)=0.4706$ より、両側p値の正規近似は $2(0.5-0.4706)=0.0588>0.05$ である（臨界値で見ても $|z|=1.89<1.96$）。したがって有意水準5%では $H_0$ を棄却できず、赤玉の割合が60%ではないと判断する根拠はない。ただし、棄却できないことは割合が60%であるとの証明ではない。