4福井大学 2025年 数学 第4問解答・解説

・ さいころの出目 $(a,b,c)$ はそれぞれ $1$ から $6$ までで、全事象は $6^3=216$ 通りである。 $$f'(x)=ax^2-2bx+3c$$ より、$f'(2)=0$ は $4a-4b+3c=0$ と同値である。これを $4$ を法として見ると $3c\equiv0\pmod4$ なので、$c$ は $4$ の倍数であり、範囲から $c=4$ である。元の式に代入すると $b=a+3$ となり、$a=1,2,3$ の3通りを得る。したがって $$\displaystyle P(f'(2)=0)=\frac{3}{216}=\boxed{\frac{1}{72}}.$$

・ $x=3$ が極値点となるには、$f'(3)=0$ かつ $f''(3)\ne0$ が必要十分である。まず $$f'(3)=9a-6b+3c=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad c=2b-3a.$$ この条件の下で $$f''(3)=6a-2b=2(3a-b),$$ したがって $f''(3)\ne0$ は $b\ne3a$ と同値である。$b=3a$ なら、さらに $c=3a$ となり、$f'(x)=a(x-3)^2$ で符号が変わらないため、$x=3$ は極値点ではない。

$1\le a,b,c\le6$ と $c=2b-3a$ を満たす候補を調べる。 $$\begin{array}{c|c|c|c} a&b&c=2b-3a&b\ne3a\text{ を満たす組数}\\ \hline 1&2,3,4&1,3,5&2\\ 2&4,5,6&2,4,6&2\\ 3&5,6&1,3&2\\ 4,5,6&\text{なし}&\text{なし}&0 \end{array}$$ 候補8通りのうち $(1,3,3)$ と $(2,6,6)$ は $b=3a$ の重根の場合である。残る6通りが極値を与えるから $$\displaystyle P(x=3\text{ で極値})=\frac{6}{216}=\boxed{\frac{1}{36}}.$$

・ $f(x)$ が極値をもつための必要十分条件は、$f'(x)$ が異なる2実根をもつことである。判別式が正となる条件を計算すると $$(-2b)^2-4a(3c)>0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad b^2>3ac.$$ 各 $a,b$ に対し、$1\le c\le6$ かつ $\displaystyle c<\dfrac{b^2}{3a}$ を満たす $c$ の個数を数えると次の通りである。 $$\begin{array}{c|rrrrrr|r} &b=1&b=2&b=3&b=4&b=5&b=6&計\\ \hline a=1&0&1&2&5&6&6&20\\ a=2&0&0&1&2&4&5&12\\ a=3&0&0&0&1&2&3&6\\ a=4&0&0&0&1&2&2&5\\ a=5&0&0&0&1&1&2&4\\ a=6&0&0&0&0&1&1&2\\ \hline 計&&&&&&&49 \end{array}$$ したがって、$f(x)$ が極値をもつ場合は49通りである。(2)の6通りはすべてこの場合に含まれるので、求める条件付き確率は $$\displaystyle \frac{6}{49}=\boxed{\frac{6}{49}}.$$