3広島大学 2021年 数学 第3問解答・解説

1回目から3回目のさいころの目 $(a,b,c)$ は、$6^3=216$ 通りが同様に確からしい。

(1) $b^2>4c$ を満たす $(b,c)$ の個数を、$b=1,2,3,4,5,6$ の順に数えると $0,0,2,3,6,6$ 通りで、合計 $17$ 通りである。$a$ は任意に選べるから $$\displaystyle P(b^2>4c)=\frac{6\cdot17}{216}=\frac{17}{36}.$$

(2) $a$ が奇数なら $f(x)=-x^2+bx+c$ の判別式は $b^2+4c>0$ なので、全ての $3\cdot6\cdot6=108$ 通りで異なる二実根をもつ。$a$ が偶数なら判別式は $b^2-4c$ で、(1)より $(b,c)$ は $17$ 通り、したがって $(a,b,c)$ は $3\cdot17=51$ 通りである。ゆえに $$\displaystyle P(\text{異なる二実根})=\frac{108+51}{216}=\frac{53}{72}.$$

(3) $f'(1)=2(-1)^a+b=7$ である。$a$ が奇数の場合は $b=9$ となり不可能であり、$a$ が偶数なら $b=5$ である。$a$ が偶数、$b=5$ のとき、$25>4c$ は全ての $c=1,\ldots,6$ で成立するため、条件を満たす結果は $3\cdot6=18$ 通りである。異なる二実根の条件付き確率は $$\displaystyle P(f'(1)=7\mid \text{異なる二実根})=\frac{18}{159}=\frac{6}{53}.$$

(4) $a$ が偶数で異なる二実根をもつとき、根の積は $c>0$、和は $-b<0$ なので、二根はともに負である。$a$ が奇数なら根の積は $-c<0$ なので、一方が正で他方が負である。この場合は常に少なくとも一つ正の根をもつ。該当する結果は $108$ 通りだから $$\displaystyle P(\text{少なくとも一つ正の根}\mid \text{異なる二実根})=\frac{108}{159}=\frac{36}{53}.$$