1広島大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(x)$ を微分すると $$\displaystyle f'(x)=-2x^2+(2a+1)x-a=-2(x-a)\left(x-\frac12\right).$$ $x=a$ で極大となるには、$f'(x)$ の符号がその点の左で正、右で負になればよい。

$a>1/2$ なら、$x=a$ の少し左では $x-a<0$、$x-1/2>0$ なので $f'(x)>0$、右では両因子が正なので $f'(x)<0$。よって極大である。$a<1/2$ なら $x=a$ をまたぐと符号は負から正へ変わり、極小となる。$a=1/2$ なら $f'(x)=-2(x-1/2)^2$ で符号は変わらない。したがって $$\displaystyle \boxed{a>\frac12}.$$

(2) 絶対値の中身の符号が変わる $x=-1,2$ で分ける。 $$|x+1|+|x-2|= \begin{cases} -2x+1 &(x\le-1),\\ 3 &(-1\le x\le2),\\ 2x-1 &(x\ge2). \end{cases}$$ $x\le-1$ では $-2x+1\le4$ より $x\ge-3/2$。中央区間はすべて不等式を満たす。$x\ge2$ では $2x-1\le4$ より $x\le5/2$。合わせると $$\displaystyle \boxed{-\frac32\le x\le\frac52}.$$

(3) 以下、(1)より $a>1/2$、また(2)の範囲 $-3/2\le x\le5/2$ を考える。導関数の符号は $$f'(x)<0\ (x<1/2),\quad f'(x)>0\ (1/2<x<a),\quad f'(x)<0\ (x>a).$$ 区間端と極値候補での値を計算すると $$\displaystyle f\left(-\frac32\right)=\frac{30a+27}{8},\quad f\left(\frac12\right)=\frac{1-6a}{24},\quad f\left(\frac52\right)=\frac{90a-175}{24},\quad f(a)=\frac{a^2(2a-3)}6.$$ 最大値を調べる。$a\le5/2$ のとき、候補は左端・$x=a$・右端である。$f$ は $a$ から右端まで減るので $f(a)\ge f(5/2)$。さらに $$\displaystyle f\left(-\frac32\right)-f(a)=\frac{(9-2a)(2a+3)^2}{24}>0 \quad\left(\frac12<a\le\frac52\right)$$ だから左端の値が最大。$a>5/2$ なら区間内では $x=1/2$ まで減少し、その後増加するため、最大候補は両端であり、 $$\displaystyle f\left(-\frac32\right)-f\left(\frac52\right)=\frac{32}{3}>0.$$ この場合も左端が最大である。よって $$\displaystyle \boxed{\max\limits _{-3/2\le x\le5/2}f(x)=\frac{30a+27}{8}}.$$

最小値は、単調性から $x=1/2$ または右端 $x=5/2$ のどちらかでとる。差を比べると $$\displaystyle f\left(\frac52\right)-f\left(\frac12\right)=\frac23(6a-11).$$ $1/2<a<11/6$ ならこの差は負なので右端が最小、$a>11/6$ なら差は正なので $x=1/2$ が最小。$a=11/6$ では両者が等しい。したがって $$\displaystyle \boxed{ \min\limits _{-3/2\le x\le5/2}f(x)= \begin{cases} \dfrac{90a-175}{24} & \left(\dfrac12<a\le\dfrac{11}{6}\right),\\[2mm] \dfrac{1-6a}{24} & \left(a\ge\dfrac{11}{6}\right). \end{cases}}$$ 境目 $a=11/6$ では2つの式はいずれも $-5/12$ となり一致する。