1京都府立医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) 絶対値の中身の符号で場合分けすると $$f(x)=\begin{cases} x^3-x &(|x|\ge1),\\ x-x^3 &(-1\le x\le1). \end{cases}$$ いずれも $x=-1,0,1$ で $0$ となり、$f$ は奇関数である。外側では $f'(x)=3x^2-1>0$、内側では $f'(x)=1-3x^2$ である。したがって、内側の極値は $$\displaystyle x=-\frac1{\sqrt3}\text{ で }f(x)=-\frac2{3\sqrt3},\qquad x=\frac1{\sqrt3}\text{ で }f(x)=\frac2{3\sqrt3}.$$ また $x=-1$ は尖点の極大点、$x=1$ は尖点の極小点であり、これらと零点および上の極値を通る奇関数のグラフを描けばよい。

(2) $f$ は連続なので、積分区間の端点を微分して $$g'(x)=f(x+r)-f(x-r)$$ を得る。$f$ が奇関数であることから $g'(-x)=g'(x)$ となるので、$x\ge0$ の場合を調べる。$0\le x\le r$ なら $$g'(x)=f(x+r)+f(r-x)\ge0,$$ なぜなら $x+r\ge1,\ r-x\ge0$ であり、$s\ge0$ では $f(s)\ge0$ だからである。$x\ge r$ とし $u=x-r\ge0$ とおくと $$g'(x)=f(u+2r)-f(u).$$ $u\ge1$ では $f$ は $x\ge1$ で増加するので、この差は正である。$0\le u\le1$ では $f(u)\le 2/(3\sqrt3)$ である一方、$u+2r\ge2$ より $f(u+2r)\ge f(2)=6$ だから、やはり差は正である。よって全ての $x$ で $g'(x)\ge0$ となり、$g$ は単調増加する。

(3) まず $0<r<1/2$ とする。$x=1-r$ とおけば $0<x-r=1-2r<1$、$x+r=1$ なので $$g'(1-r)=f(1)-f(1-2r)=-f(1-2r)<0.$$ したがってこの範囲の $r$ では $g$ は単調増加しない。

次に $r\ge1/2$ とする。再び $x\ge0$ だけを調べればよい。$0\le x\le r$ で $x+r\le1$ のときは $1/2\le r\le1,\ x\le1-r$ であり、 $$g'(x)=f(r+x)+f(r-x)=2r(1-r^2-3x^2) \ge 2r\{1-r^2-3(1-r)^2\} =-4r(2r-1)(r-1)\ge0.$$ $0\le x\le r$ かつ $x+r\ge1$ のときは、$x+r\ge1,\ r-x\ge0$ より $g'(x)=f(x+r)+f(r-x)\ge0$ である。 最後に $x\ge r$ とし $u=x-r\ge0$ とおく。$u\ge1$ なら $f$ の $x\ge1$ での増加性から $f(u+2r)-f(u)\ge0$。$0\le u\le1$ なら $u+2r\ge u+1\ge1$ なので $$g'(x)=f(u+2r)-f(u)\ge f(u+1)-f(u) =u(2u+1)(u+1)\ge0.$$ よって全ての $x$ について $g'(x)\ge0$、従って $g$ は単調増加する。以上から求める範囲は $$\displaystyle \boxed{r\ge\frac12}.$$

(1)の概形。零点は$-1,0,1$、内側の極値は$\displaystyle \pm\frac1{\sqrt3}$。$\pm1$では折れ、原点対称。