1香川大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$ の符号で場合分けすると $$\displaystyle f(x)= \begin{cases} \dfrac12x^2+3x-\dfrac52,&x\le-5\text{ または }x\ge1,\\[2pt] -\dfrac12x^2-x+\dfrac52,&-5\le x\le1. \end{cases}$$ 中央部分は $\displaystyle y=-\frac12(x+1)^2+3$ で、頂点は $(-1,3)$。両端の折れ点は $(-5,-5)$、$(1,1)$。外側は上に開く放物線の該当部分であり、この式でグラフが描ける。

方程式 $f(x)+k=0$ は水平線 $y=c$、$c=-k$、とグラフの交点数を数える問題である。左枝は $x\le-5$ で $+\infty$ から $-5$ まで単調減少し、中央枝は $-5\le x\le-1$ で $-5$ から3へ増加、$-1\le x\le1$ で3から1へ減少する。右枝は $x\ge1$ で1から増加する。折れ点で同じ交点を重複して数えないようにすると $$\begin{array}{c|c} k\text{ の範囲}&\text{異なる実数解の個数}\\\hline k<-3&2\\ k=-3&3\\ -3<k<-1&4\\ k=-1&3\\ -1<k<5&2\\ k=5&1\\ k>5&0 \end{array}$$

$x<0$ では最小値は $(-5,-5)$ で、$x\ge0$ では最小値は $(1,1)$。従って $P=(-5,-5),Q=(1,1)$ で、直線 $\ell$ は $y=x$。これと垂直な直線の傾きは $-1$。中央枝の導関数は $-x-1$ なので傾き $-1$ の接点は $(0,5/2)$、接線 $m$ は $y=-x+5/2$。

$\ell,m$、y軸でできる三角形の頂点は $(0,0),(0,5/2),(5/4,5/4)$。よって面積は $$\displaystyle \frac12\cdot\frac52\cdot\frac54=\frac{25}{16}.$$

絶対値の中身の零点−5,1で式を分けてグラフを描きます。水平線との交点を各単調区間で数え、共通の折れ点は一度だけ数えます。最後は指定範囲の最小点を読み取り、傾き−1の接線と2本の境界線から三角形の面積を求めます。