5香川大学 2021年 数学 第5問解答・解説

$\omega=(-1+\sqrt3 i)/2$ であり、$\omega^3=1$、$\overline\omega=\omega^2$ である。

(1) $u=z-\omega$、$v=\omega z-\omega$ とおく。$v\ne0$ のとき、3点が一直線上にあることは差ベクトル $u,v$ が実数倍であること、すなわち $u/v$ が実数であることと同値。ここで $$\displaystyle \frac uv=\frac{u\overline v}{|v|^2}$$ で分母は正の実数だから、条件は $\operatorname{Im}(u\overline v)=0$ となる。$v=0$ なら $z=1$ で点 $B=C$ となり、3点は自動的に一直線上にある。この場合も $\operatorname{Im}(u\overline v)=0$ であるため、同じ式で全ての場合を扱える。

$z=x+yi$ とおく。$\omega^3=1$ と $\overline\omega=\omega^2$ を使って展開すると $$(z-\omega)\overline{(\omega z-\omega)} =\omega^2(z-\omega)(\overline z-1) =\omega^2|z|^2-\omega^2z-\overline z+1.$$ その虚部は $\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2}(x^2+y^2)+\frac{\sqrt3}{2}x+\frac32 y$ だから、条件は $$\displaystyle x^2+y^2-x-\sqrt3y=0 \quad\text{すなわち}\quad \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=1.$$ したがって軌跡は中心 $(1/2,\sqrt3/2)$、半径1の円周である。

(2) $z,\omega z,\omega^2z$ は $1,\omega,\omega^2$ を複素数 $z$ 倍した図形なので、辺の長さは $|z|$ 倍、面積は $|z|^2$ 倍になる。面積比が2であることから $|z|^2=x^2+y^2=2$。また(1)の円の式と合わせると $x+\sqrt3y=2$ である。$x=2-\sqrt3y$ を $x^2+y^2=2$ に代入して $$2y^2-2\sqrt3y+1=0,$$ よって $y=(\sqrt3+1)/2$ または $y=(\sqrt3-1)/2$。それぞれ $x=2-\sqrt3y$ に戻すと $$\displaystyle z=\frac{1-\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3+1}{2}i \quad\text{または}\quad z=\frac{1+\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3-1}{2}i.$$