4香川大学 2021年 数学 第4問解答・解説

$f'(x)=2xe^{x^2}$、$f''(x)=2e^{x^2}(1+2x^2)>0$。よって $x<0$ で減少、$x>0$ で増加し、原点で最小値 $0$ をとる。グラフは偶関数で、全域で下に凸（上向きに凸）である。

$x\ge0$ では指数関数の不等式 $e^u\ge1+u$（等号は $u=0$）を $u=x^2$ に適用すると $$f(x)=e^{x^2}-1\ge x^2=g(x),$$ 等号は $x=0$ のときに限る。

回転させる領域は $0\le x\le1$ における2曲線の間である。y軸まわりの円筒殻を用いると $$\displaystyle V=2\pi\int_0^1x\{e^{x^2}-1-x^2\}\,dx =2\pi\left(\frac{e-1}{2}-\frac12-\frac14\right) =\frac{\pi}{2}(2e-5).$$

(1) 導関数と二階導関数から単調性・極値・凹凸を判定する。(2) $e^u$≧1+uをu=x²に用い、等号条件も確認する。(3) 対象領域は0≦x≦1の曲線間であり、y軸回転は円筒殻で積分する。