4札幌医科大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $f(x)=x+2\cos x\ (0\leq x\leq 2\pi)$ とおくと、 $$f'(x)=1-2\sin x,\qquad f''(x)=-2\cos x.$$ $f'(x)=0$ となるのは $\displaystyle x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$ である。$\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{6}$ および $\displaystyle \frac{5\pi}{6}<x\leq2\pi$ では $f'(x)>0$、$\displaystyle \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}$ では $f'(x)<0$ だから、$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$ で極大、$\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}$ で極小となる。値は $$\displaystyle f(\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{6}+\sqrt3,\qquad f(\frac{5\pi}{6})=\frac{5\pi}{6}-\sqrt3.$$ また、$f(0)=2$、$f(2\pi)=2\pi+2$ である。

$f''(x)=0$ となるのは $\displaystyle x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ であり、$f''$ の符号はそれぞれの点の前後で変わる。したがって変曲点は $$\displaystyle (\frac{\pi}{2},f(\frac{\pi}{2}))=(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\qquad (\frac{3\pi}{2},f(\frac{3\pi}{2}))=(\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$$ である。$\displaystyle (0,\frac{\pi}{2})$、$\displaystyle (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$、$\displaystyle (\frac{3\pi}{2},2\pi)$ での $f''$ の符号は順に負、正、負である。以上より、グラフは $(0,2)$ から増加して $\displaystyle (\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}+\sqrt3)$ で極大となり、その後減少して $\displaystyle (\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{6}-\sqrt3)$ で極小となってから $(2\pi,2\pi+2)$ まで増加する。凹凸は順に上に凸、下に凸、上に凸である。極小値 $\displaystyle \frac{5\pi}{6}-\sqrt3>0$ なので、この区間でグラフは $x$ 軸と交わらない。

(2)　 二つの変曲点を結ぶ直線の傾きは $$\displaystyle \frac{\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}=1$$ であり、両点は $y=x$ 上にあるから、$\ell$ は $y=x$ である。曲線との交点は $x+2\cos x=x$、すなわち $\cos x=0$ より $\displaystyle x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ である。この間では $\cos x\leq0$ なので曲線は直線の下にある。また、曲線の $y$ 座標はこの区間で $\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}$ のとき最小となり、その値 $\displaystyle \frac{5\pi}{6}-\sqrt3$ は正である。よって回転軸との交差はなく、外半径が $x$、内半径が $x+2\cos x$ の円環を積み重ねればよい。 $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\left\{x^2-(x+2\cos x)^2\right\}\,dx\\ &=\pi\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\left(-4x\cos x-4\cos^2x\right)\,dx\\ &=\pi\left[-4x\sin x-4\cos x-2x-\sin2x\right]_{\pi/2}^{3\pi/2}\\ &=\pi\{3\pi-(-3\pi)\}=6\pi^2. \end{aligned}$$