3筑波大学 2012年 数学 第3問解答・解説

$a=e^n, b=e^{2n}, L=b-a=e^n(e^n-1)$ とおく。線分 $PQ$ 上の高さを表す一次関数は $$\displaystyle \ell(x)=n+\frac{n}{L}(x-a),\qquad a\le x\le b.$$ (1) 四角形 $APQB$ の各断面を $x$ 軸に垂直に切ると半径 $\ell(x)$ の円板である。$u=(x-a)/L$ とおけば $$\displaystyle V(n)=\pi\int_a^b\ell(x)^2\,dx =\pi L n^2\int_0^1(1+u)^2\,du =\frac{7\pi n^2}{3}(e^{2n}-e^n).$$ (2) $y=\log x=\ln x$ は $y''=-1/x^2<0$ なので弦 $PQ$ より上にあり、回転断面は外半径 $\ln x$、内半径 $\ell(x)$ の円環となる。 $$\displaystyle S(n)=\pi\int_a^b\bigl((\ln x)^2-\ell(x)^2\bigr)\,dx.$$ 部分積分により $\displaystyle \int(\ln x)^2dx=x\{(\ln x)^2-2\ln x+2\}+C$ であるから $$\displaystyle \frac{S(n)}{\pi}=b(4n^2-4n+2)-a(n^2-2n+2)-\frac{7n^2}{3}(b-a) =b\left(\frac53n^2-4n+2\right)+a\left(\frac43n^2+2n-2\right).$$ したがって $$\displaystyle \frac{S(n)}{V(n)}= \frac{\frac53-\frac4n+\frac2{n^2}+e^{-n}\left(\frac43+\frac2n-\frac2{n^2}\right)}{\frac73(1-e^{-n})} \longrightarrow\frac{5}{7}\qquad(n\to\infty),$$ ここで $e^{-n}\to0$、$1/n\to0$ を用いた。