1筑波大学 2012年 数学 第1問解答・解説

3つの解のうち最小のものを $r$ とおく。解の比と範囲から、3つの解は $$\displaystyle r,\quad 2r,\quad 3r,\qquad \frac12<r<1$$ であり、$r<1<2r<3r$ となる。従って元の方程式の両辺を各解で評価すると $$pr+q=-\log_{10}r,\quad 2pr+q=\log_{10}(2r),\quad 3pr+q=\log_{10}(3r).$$ これらの点は $y=px+q$ 上にあるので、隣り合う2区間の傾きは等しい。 $$\displaystyle \frac{\log_{10}(2r)+\log_{10}r}{r} =\frac{\log_{10}(3r)-\log_{10}(2r)}{r}.$$ 対数の性質を用いると $$\displaystyle \log_{10}(2r^2)=\log_{10}\frac32,$$ 従って $r=\sqrt3/2$（正の平方根をとる）。これは $1/2<r<1$ を満たす。

$A=\log_{10}2$, $B=\log_{10}3$ より、2つ目と3つ目の式の差をとると $$\displaystyle pr=\log_{10}\frac32=B-A, \quad\therefore\quad p=\frac{2(B-A)}{\sqrt3}.$$ また $\log_{10}r=B/2-A$ なので、最初の式から $$\displaystyle q=-\log_{10}r-pr =-\left(\frac B2-A\right)-(B-A) =2A-\frac32B.$$

十分性と解の個数の確認. $B>A$ だから $$\displaystyle p=\frac{2(B-A)}{\sqrt3}>0,\qquad pr=B-A=\log_{10}\frac32, \qquad r^2=\frac34,$$ である。また $q=-\log_{10}r-pr$ である。まず $$pr+q=-\log_{10}r=|\log_{10}r|$$ なので $x=r$ は方程式の解である。さらに $r^2=3/4$ を使うと $$\displaystyle 2pr+q=\log_{10}\frac32-\log_{10}r =\log_{10}\frac{3}{2r}=\log_{10}(2r),$$ $$\displaystyle 3pr+q=2\log_{10}\frac32-\log_{10}r =\log_{10}\frac{9}{4r}=\log_{10}(3r).$$ $r>1/2$ より $2r,3r>1$ なので、これらもそれぞれ $x=2r,3r$ における方程式の解である。

これ以外の正の解がないことを示す。$0<x\le1$ では方程式は $$f_-(x)=-\log_{10}x-px-q=0$$ と同値であり、 $$\displaystyle f_-'(x)=-\frac{1}{x\ln 10}-p<0.$$ 従ってこの範囲で解は高々1つである。既に $1/2<r<1$ を満たす $r$ が解なのでそれが唯一であり、特に単調減少性から $f_-(1)<f_-(r)=0$ となるため $x=1$ は解ではない。

$x>1$ では方程式は $$f_+(x)=\log_{10}x-px-q=0$$ と同値である。この関数は $$\displaystyle f_+''(x)=-\frac{1}{x^2\ln 10}<0$$ を満たすので導関数は $x$ が増えると必ず小さくなり、$f_+$ のグラフは上に凸で、異なる2点を結ぶ線分よりもその間で必ず上にある。このため、区間内で相異なる3つの零点をもつことはない。実際、両端の零点を結ぶ線分の高さは0なので、その間の関数値は0より大きくなるからである。従って $x>1$ の解は高々2つであり、既に異なる2つの解 $2r,3r$ があるのでこれらがすべてである。以上より、得られた $p,q$ に対して元の方程式は正の解をちょうど $r,2r,3r$ の3つだけもつ。