4筑波大学 2012年 数学 第4問解答・解説

位置ベクトルを $\vec a=\overrightarrow{OA},\ vec b=\overrightarrow{OB},\ vec c=\overrightarrow{OC},\ vec h=\overrightarrow{OH}$ とする。条件は $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a$ である。

(1) $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC} =\vec a\cdot(\vec c-\vec b) =\vec a\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec b=0.$$ したがって $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{BC}$。

(2) $OH\perp\alpha$ より、$\vec h$ は平面 $\alpha$ 内の方向ベクトルに垂直である。特に $$\vec h\cdot(\vec c-\vec b)=0.$$ また (1) より $\vec a\cdot(\vec c-\vec b)=0$。よって $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC} =(\vec h-\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)=0.$$ 同じ条件を巡回的に用いると $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CA}=0$、$\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ も得られる。したがって $H$ は $\triangle ABC$ の垂心である。

(3) $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=2$ および各内積が $1$ だから $$AB^2=|\vec b-\vec a|^2=4+4-2=6,$$ 同様に $BC^2=CA^2=6$。従って各辺の長さは $\sqrt6$。

$\vec s=\vec a+\vec b+\vec c$ とおく。例えば $$\vec s\cdot(\vec b-\vec a)=|\vec b|^2-|\vec a|^2+\vec c\cdot\vec b-\vec c\cdot\vec a=0,$$ 残る辺方向についても同様であるから $\vec s$ は平面 $\alpha$ の法線ベクトルである。また $$\vec s\cdot\vec a=6,\qquad |\vec s|^2=3\cdot4+2\cdot3\cdot1=18.$$ 平面 $\alpha$ 上の点では $\vec s$ との内積が $6$、かつ $\vec h$ は法線方向なので $\vec h=\lambda\vec s$。よって $18\lambda=6$、すなわち $\lambda=1/3$。従って $$\displaystyle OH=|\vec h|=\frac{|\vec s|}{3}=\frac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt2.$$

共通内積条件をベクトルの差に用いて垂直を示す。OHが平面の法線方向であることと組み合わせてHから各対辺への垂直性を示す。最後に辺長を計算し、a+b+cが平面の法線であることからHの位置とOHを求める。