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長崎大学／2013年度／前期

長崎大学 2013年 数学 第4問解答・解説

図形の性質ベクトル

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1問題

長崎大学2013年度第4問

右図のような四面体 OABCOABC がある。各面 ABC,OBC,OCA,OABABC,OBC,OCA,OAB の重心を，それぞれ P,Q,R,SP,Q,R,S とし，辺 BCBC の中点を MM とする。また，OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗,OM→=m⃗\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\qquad\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\qquad\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c},\qquad\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\vec{m} とおく。次の問いに答えよ。

四面体OABCの図で、Oが上、Aが左、Bが下、Cが右にある。辺ACは破線で、ほかの5辺は実線で描かれ、辺BC上に点Mが黒い点で示されている。

(1) OQ→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} を m⃗\vec{m} を用いて表せ。また，OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}} を a⃗\vec{a} と m⃗\vec{m} を用いて表せ。

(2) 線分 OPOP と線分 AQAQ の交点を GG とする。線分 OPOP 上の点 UU は，実数 ss を用いて OU→=sOP→(0≦s≦1)\overrightarrow{\mathrm{OU}}=s\overrightarrow{\mathrm{OP}}\quad(0\leq s\leq1) と表され，線分 AQAQ 上の点 VV は，実数 tt を用いて OV→=(1−t)OA→+tOQ→(0≦t≦1)\overrightarrow{\mathrm{OV}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\quad(0\leq t\leq1) と表される。このことを利用して，OG→\overrightarrow{\mathrm{OG}} を a⃗\vec{a} と m⃗\vec{m} を用いて表せ。

(3) a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} を用いて OG→\overrightarrow{\mathrm{OG}} を表せ。

(4) a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} の中から必要なものを用いて，OR→\overrightarrow{\mathrm{OR}} および OS→\overrightarrow{\mathrm{OS}} をそれぞれ表せ。また，点 GG が線分 BRBR および線分 CSCS 上にあることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)OQ→=23m⃗,OP→=13a⃗+23m⃗.\displaystyle \quad \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac23\vec m,\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac13\vec a+\frac23\vec m.\qquad (2)OG→=14a⃗+12m⃗.\displaystyle \quad \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac14\vec a+\frac12\vec m.\qquad (3)OG→=14(a⃗+b⃗+c⃗).\displaystyle \quad \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac14(\vec a+\vec b+\vec c).\qquad (4)OR→=13(a⃗+c⃗),OS→=13(a⃗+b⃗),G∈BR‾∩CS‾.\displaystyle \quad \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac13(\vec a+\vec c),\quad \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac13(\vec a+\vec b),\quad G\in\overline{BR}\cap\overline{CS}.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 三角形の重心は、頂点から対辺の中点へ引いた中線を頂点側から 2:12:1 に内分する。MM は BCBC の中点なので、面 OBCOBC の重心 QQ について OQ→=23OM→=23m⃗.\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac23\overrightarrow{OM}=\frac23\vec m. また、MM は面 ABCABC の中線 AMAM の中点側の端であるから、重心 PP は AMAM を AP:PM=2:1AP:PM=2:1 に内分し、 OP→=a⃗+23(m⃗−a⃗)=13a⃗+23m⃗.\displaystyle \overrightarrow{OP}=\vec a+\frac23(\vec m-\vec a)=\frac13\vec a+\frac23\vec m.

(2) GG は OPOP と AQAQ の両方にある。したがって、問題の媒介表示で U=V=GU=V=G として s(13a⃗+23m⃗)=(1−t)a⃗+23tm⃗.\displaystyle s\left(\frac13\vec a+\frac23\vec m\right)=(1-t)\vec a+\frac23t\vec m. 四面体は退化していないので a⃗,b⃗,c⃗\vec a,\vec b,\vec c は一次独立であり、m⃗=(b⃗+c⃗)/2\vec m=(\vec b+\vec c)/2 より a⃗,m⃗\vec a,\vec m も一次独立である。係数を比較すると s3=1−t,s=t.\displaystyle \frac{s}{3}=1-t,\qquad s=t. よって s=t=34\displaystyle s=t=\frac34 であり、これは 0≦s,t≦10\le s,t\le1 を満たす。したがって実際に二線分上にある交点で、 OG→=34OP→=14a⃗+12m⃗.\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac34\overrightarrow{OP}=\frac14\vec a+\frac12\vec m.

(3) m⃗=(b⃗+c⃗)/2\vec m=(\vec b+\vec c)/2 を代入して OG→=14(a⃗+b⃗+c⃗).\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac14(\vec a+\vec b+\vec c).

(4) 面 OCAOCA で辺 ACAC の中点からの中線を考えると、重心 RR は中線を 2:12:1 に内分する。同様に面 OABOAB について OR→=13(a⃗+c⃗),OS→=13(a⃗+b⃗).\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac13(\vec a+\vec c),\qquad \overrightarrow{OS}=\frac13(\vec a+\vec b). これらと (3) より OG→=14b⃗+34OR→,OG→=14c⃗+34OS→.\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac14\vec b+\frac34\overrightarrow{OR}, \qquad \overrightarrow{OG}=\frac14\vec c+\frac34\overrightarrow{OS}. 各式の係数は非負で和が 11 だから、GG は線分 BRBR および線分 CSCS 上にある。

この問題で使う考え方

  • 三角形の中心
  • 空間図形の性質
  • 位置ベクトル
  • ベクトルの和・差・実数倍
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察

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