3長崎大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $$\displaystyle P_4=(a_1+a_2+a_3+a_4)^2=\sum\limits _{i=1}^4a_i^2+2\sum\limits _{1\leq i<j\leq4}a_ia_j=Q_4+2R_4.$$

(2)　 $n=2$のとき,$$S_2=(a_1-a_2)^2=a_1^2+a_2^2-2a_1a_2=Q_2-2R_2=(2-1)Q_2-2R_2$$である。

$n=k\quad (k\geq2)$で $S_k=(k-1)Q_k-2R_k$が成り立つと仮定する。 $$\displaystyle \begin{aligned}S_{k+1}&=S_k+\sum\limits _{i=1}^k(a_i-a_{k+1})^2\\&=(k-1)Q_k-2R_k+\sum\limits _{i=1}^k a_i^2-2a_{k+1}\sum\limits _{i=1}^k a_i+k a_{k+1}^2\\&=k(Q_k+a_{k+1}^2)-2\left(R_k+a_{k+1}\sum\limits _{i=1}^k a_i\right)\\&=kQ_{k+1}-2R_{k+1}.\end{aligned}$$ したがって数学的帰納法により、すべての $n\geq2$について $S_n=(n-1)Q_n-2R_n$が成り立つ。

(3)　 $$P_4+S_4=(Q_4+2R_4)+(3Q_4-2R_4)=4Q_4$$より、$$\displaystyle Q_4=\frac{P_4+S_4}{4}.$$

(4)　 $a_1+a_2+a_3+a_4=1$のとき $P_4=1$であるから、(3)より $$\displaystyle Q_4=\frac{1+S_4}{4}\geq\frac14.$$ $$\displaystyle S_4=\sum\limits _{1\leq i<j\leq4}(a_i-a_j)^2$$は平方の和なので、$S_4=0$となるのはすべての $a_i$が等しいときに限る。このとき条件から各 $\displaystyle a_i=\frac14$であり、$$\displaystyle Q_4=4\left(\frac14\right)^2=\frac14$$となる。したがって最小値は $\displaystyle \frac14$で、等号成立は $\displaystyle (a_1,a_2,a_3,a_4)=\left(\frac14,\frac14,\frac14,\frac14\right)$のときである。