3東北大学 2020年 数学 第3問解答・解説

・ $n=3$ のとき $$2^3+3^2+8=25<27=3^3$$ である。$n\geq3$ で $2^n+n^2+8<3^n$ と仮定する。このとき $$3(2^n+n^2+8)-\{2^{n+1}+(n+1)^2+8\} =2^n+2n^2-2n+15>0$$ だから $$2^{n+1}+(n+1)^2+8<3(2^n+n^2+8)<3^{n+1}.$$ よって数学的帰納法により、すべての整数 $n\geq3$ で成り立つ。

・ (1)より $n\geq3$ では $2^n+n^2+8<3^n$ である。したがって不等式 $2^n+n^2+8\geq3^n$ を満たす正の整数は $1,2$ に限る。実際、 $$n=1:\ 2+1+8=11\geq3,\qquad n=2:\ 4+4+8=16\geq9$$ なので、求める $n$ は $1,2$ である。

・ 等式から $2^n+n^2+8=3^n+an+b$ であり、$a,b\geq0$ より $$2^n+n^2+8\geq3^n.$$ したがって(2)より $n=1$ または $n=2$ である。 $n=1$ のとき $$11=3+a+b,\qquad a+b=8,$$ ゆえに $(a,b,n)=(k,8-k,1)\ (k=0,1,\ldots,8)$。 $n=2$ のとき $$16=9+2a+b,\qquad 2a+b=7.$$ $a,b$ は0以上の整数なので $a=0,1,2,3$ であり、対応する $b$ は $7,5,3,1$ である。したがって $$(a,b,n)=(0,7,2),(1,5,2),(2,3,2),(3,1,2).$$