4群馬大学 2021年 数学 第4問解答・解説

採用解説: MM-911ca6151dfb-Q4 結論　 (1)　 m$\ge$2.　　 (2)　 a_1<b_m<b_{m+1}<a_{m+1}<a_m<b_1　(m$\ge$2).　　 (3)　 |a_n-b_n|<2^{1-2^n}　(n$\ge$1).　 　 正の $a_n,b_n$ について、漸化式から $$\displaystyle a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}=\frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_n+b_n)}.$$ $a_1=1\ne\sqrt2=b_1$ なので $a_2>b_2$。以後この式により常に $a_{n+1}>b_{n+1}$。したがって $b_m<a_m$ となるのは $m\ge2$ である。

(2) $\displaystyle a_2=\frac{1+\sqrt2}{2}<\sqrt2=b_1$、また $\displaystyle b_2=\frac{2\sqrt2}{1+\sqrt2}>1=a_1$。$n\ge2$ では $a_n>b_n$ だから $$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{b_n-a_n}{2}<0,\qquad b_{n+1}-b_n=\frac{b_n(a_n-b_n)}{a_n+b_n}>0.$$ よって $\{a_n\}_{n\ge2}$ は減少し、$\{b_n\}_{n\ge2}$ は増加する。(1)も合わせると、$m\ge2$ に対して $$a_1<b_m<b_{m+1}<a_{m+1}<a_m<b_1.$$

(3) $d_n=|a_n-b_n|$ とおく。上の差の公式より $$\displaystyle d_{n+1}=\frac{d_n^2}{2(a_n+b_n)}.$$ (2)から $n\ge2$ では $a_n,b_n>1$、また $a_1+b_1=1+\sqrt2>2$ なので、すべての $n\ge1$ で $a_n+b_n>2$。したがって $$\displaystyle d_{n+1}<\frac{d_n^2}{4}.$$ 初項は $\displaystyle d_1=\sqrt2-1<\frac12=2^{1-2}$。$d_n<2^{1-2^n}$ と仮定すると $$\displaystyle d_{n+1}<\frac{(2^{1-2^n})^2}{4}=2^{-2^{n+1}}<2^{1-2^{n+1}}.$$ よって数学的帰納法により、すべての正整数 $n$ で所望の不等式が成り立つ。