3群馬大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec b=\overrightarrow{OB}$ とする。正三角形の一辺は1なので $|\vec a|=|\vec b|=1$、$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac12$。また $\overrightarrow{OC}=k\vec a$、$\overrightarrow{OD}=l\vec b$ である。

EはABを$(1+m):m$に外分するから $$\overrightarrow{OE}=(1+m)\vec b-m\vec a.$$ 一方 $\overrightarrow{CD}=l\vec b-k\vec a$。垂直条件を内積で表すと $$\displaystyle 0=\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{CD} =l(1+m)-\frac{k(1+m)}2-\frac{lm}2+km =\frac{m(k+l)+2l-k}{2}.$$ 従って $\displaystyle m=\frac{k-2l}{k+l}$。$m>0$ かつ $k+l>0$ より $k>2l$。

$\vec a,\vec b$ を基底とする斜交座標を用いると、$C=(k,0),D=(0,l)$ だから直線CD上の点 $(x,y)$ は $\displaystyle \frac{x}{k}+\frac{y}{l}=1$ を満たす。$P$ は $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OE}$ より斜交座標で $(-sm,s(1+m))$。従って $$\displaystyle -\frac{sm}{k}+\frac{s(1+m)}{l}=1, \qquad s=\frac{kl}{k(1+m)-lm}.$$ $\displaystyle m=\frac{k-2l}{k+l}$ を代入すると $$\displaystyle k(1+m)-lm=k+m(k-l)=\frac{2(k^2-kl+l^2)}{k+l},$$ よって $$\displaystyle s=\frac{kl(k+l)}{2(k^2-kl+l^2)}.$$ 最後に $k=3l$ を代入すれば $$\displaystyle s=\frac{3l^2\cdot4l}{2(9l^2-3l^2+l^2)}=\frac{6l}{7}.$$