1群馬大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$\alpha=\angle OAB$、また $O$ から $AB$ への距離を $h$ とする。$\angle AOB=3\theta$ だから $0<\theta<60^\circ$。 各半直線の底辺への射影と $\displaystyle \cot A-\cot B=\frac{\sin(B-A)}{\sin A\sin B}$ より $$\displaystyle \frac{x}{h}=\cot\alpha-\cot(\alpha+\theta)=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha\sin(\alpha+\theta)},\quad \frac{y}{h}=\frac{\sin\theta}{\sin(\alpha+\theta)\sin(\alpha+2\theta)},\quad \frac{z}{h}=\frac{\sin\theta}{\sin(\alpha+2\theta)\sin(\alpha+3\theta)}.$$ したがって $\displaystyle r=\frac{x}{y}=\frac{\sin(\alpha+2\theta)}{\sin\alpha},\quad s=\frac{z}{y}=\frac{\sin(\alpha+\theta)}{\sin(\alpha+3\theta)}$。 ここで $\displaystyle u=\frac\theta2,\ \phi=\alpha+\frac{3\theta}{2},\ k=\cot\phi$ とおくと $$\displaystyle r=\frac{\cos u+k\sin u}{\cos3u-k\sin3u},\qquad s=\frac{\cos u-k\sin u}{\cos3u+k\sin3u}.$$ これらから $k$ をそれぞれ表して等置すると $$(r\cos3u-\cos u)(s\sin3u+\sin u) =(\cos u-s\cos3u)(r\sin3u+\sin u).$$ 展開して $2\cos u\sin u$ で割り、 $$\displaystyle \frac{\cos3u}{\cos u}=2\cos\theta-1,\qquad \frac{\sin3u}{\sin u}=1+2\cos\theta$$ を用いれば $$rs(4\cos^2\theta-1)=r+s+1.$$ よって $\displaystyle \cos^2\theta=\frac{(r+1)(s+1)}{4rs}=\frac{(x+y)(y+z)}{4xz}$。 ゆえに $0<\theta<60^\circ$ から正の平方根をとり、 $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} =\frac12\sqrt{\frac{4xz-(x+y)(y+z)}{xz}} =\frac12\sqrt{\frac{3xz-y(x+y+z)}{xz}}.$$