2熊本大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(問1) ∠ABC=Bとおく。DはBC上にあり、∠CAD=3$\theta$-2$\theta$=$\theta$である。また、三角形ABDにおいて$\angle ADB=\pi-B-2\theta$だから、∠ADCはその隣角であり、$\angle ADC=B+2\theta$となる。正弦定理より$$\displaystyle BD=\frac{AB\sin 2\theta}{\sin(\angle ADB)}=\frac{\sin 2\theta}{\sin(B+2\theta)},\qquad DC=\frac{AC\sin\theta}{\sin(B+2\theta)}.$$DはBCの中点なのでBD=DCである。したがって$\sin 2\theta=AC\sin\theta$。ここで$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$より$\sin\theta>0$であり、$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$を用いて$$AC=2\cos\theta.$$

(問2) 三角形ABCで余弦定理を用いると、$$BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos 3\theta=1+4\cos^2\theta-4\cos\theta\cos 3\theta.$$加法定理と二倍角の公式から$\cos 3\theta=\cos(2\theta+\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$なので、$$BC^2=1+4\cos^2\theta-4\cos\theta(4\cos^3\theta-3\cos\theta)=1+16\cos^2\theta-16\cos^4\theta=1+16\cos^2\theta\sin^2\theta.$$BCは正だから$$BC=\sqrt{1+16\cos^2\theta\sin^2\theta}.$$

(問3)$u=\cos^2\theta$とおくと、$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$より$\displaystyle \frac14<u<1$である。(問2)より$$\displaystyle BC^2=1+16u-16u^2=5-16\left(u-\frac12\right)^2\leq 5.$$等号は$\displaystyle u=\frac12$のときに成り立ち、この値は範囲内にある。さらに$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$で$\cos\theta>0$だから、$\displaystyle \cos^2\theta=\frac12$となるのは$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$である。したがって、BCの最大値は$\sqrt5$、そのとき$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$である。