1熊本大学 2024年 数学 第1問解答・解説

大問1。

(問1) 袋 $A_k$ が選ばれたとき白玉を1回だけ引く確率は、戻し入れをするので $2(k/n)(1-k/n)$。袋は一様に選ばれるから $$\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^n2\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right) =\frac{2}{n^3}\sum\limits _{k=1}^n k(n-k) =\frac{n^2-1}{3n^2}.$$ ここでは $\displaystyle \sum k=n(n+1)/2$、$\displaystyle \sum k^2=n(n+1)(2n+1)/6$ を用いた。

(問2) $n=3k$ のとき、袋 $A_k$ の白玉の割合は $k/n=1/3$。従って $\displaystyle p(t)=\binom{100}{t}(1/3)^t(2/3)^{100-t}$ で、隣り合う項の比は $$\displaystyle \frac{p(t+1)}{p(t)}=\frac{100-t}{2(t+1)}.$$ $t=32$ では $68/66>1$、$t=33$ では $67/68<1$ であり、この比は $t$ が増えるほど小さくなる。したがって $p(t)$ は $t=33$ まで増加し、その後減少するので、最大となるのは **$t=33$**。

(問3) 白玉を引く確率は袋 $A_k$ では $k/n$ だから $$\displaystyle q_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\binom{10}{3}\left(\frac{k}{n}\right)^3\left(1-\frac{k}{n}\right)^7.$$ これは連続関数 $120x^3(1-x)^7$ のリーマン和であり、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}q_n=120\int_0^1x^3(1-x)^7\,dx.$$ 部分積分を繰り返すと $\displaystyle \int_0^1x^3(1-x)^7dx=(3/8)(2/9)(1/110)=1/1320$。ゆえに極限は **$1/11$**。