東邦大学 2023年数学第1問解答・解説

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1問題

東邦大学2023年度第1問

共通指示：問題は1から10までの10問です。解答は解答用マークシートに記入してください。問題の文中の $\text{アイ}$ ， $\text{ウエオ}$ などには，符号 (-)，または数字 $(0\sim9)$ が入ります。ア，イ，ウ，…の一つひとつは，これらのいずれか一つに対応します。それらを解答用マークシートのア，イ，ウ，…で示された解答欄にマークして答えなさい。分数形で解答する場合は，それ以上約分できない形で答えなさい。また，符号は分子につけ，分母につけてはいけません。根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。

1 1つの問題には4つの選択肢があり，この選択肢の中から正しいものを1つ解答する。問題が全部で5題あり，それぞれの問題に対して1つの選択肢を無作為に選んで解答するとき，4題以上正解する確率は $\displaystyle \dfrac{\text{ア}}{\text{イウ}}$ であり，少なくとも2題正解する確率は $\displaystyle \dfrac{\text{エオ}}{\text{カキク}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(4題以上) $\displaystyle \;\frac{1}{64},\qquad$ (少なくとも2題) $\displaystyle \;\frac{47}{128}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

各問で正解を選ぶ確率は $1/4$ 、不正解を選ぶ確率は $3/4$ であり、5問の選択は独立である。正解数を $X$ とすると、二項分布に従う。 $\displaystyle P(X\geq4)=\binom54\left(\frac14\right)^4\frac34+\left(\frac14\right)^5 =\frac{15+1}{4^5}=\frac{16}{1024}=\frac1{64}.$ また、余事象を用いると $\displaystyle P(X\geq2)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-\left(\frac34\right)^5-5\cdot\frac14\left(\frac34\right)^4 =1-\frac{243+405}{1024}=\frac{376}{1024}=\frac{47}{128}.$ したがって求める確率はそれぞれ $\displaystyle \dfrac1{64}$ 、 $\displaystyle \dfrac{47}{128}$ である。

この問題で使う考え方

二項分布
独立な試行
余事象

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