東邦大学 2023年数学第3問解答・解説

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1問題

東邦大学2023年度第3問

共通指示：問題は1から10までの10問です。解答は解答用マークシートに記入してください。問題の文中の $\text{アイ}$ ， $\text{ウエオ}$ などには，符号 (-)，または数字 $(0\sim9)$ が入ります。ア，イ，ウ，…の一つひとつは，これらのいずれか一つに対応します。それらを解答用マークシートのア，イ，ウ，…で示された解答欄にマークして答えなさい。分数形で解答する場合は，それ以上約分できない形で答えなさい。また，符号は分子につけ，分母につけてはいけません。根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。

3 座標空間において，3点 $A(2,-1,-5),B(1,0,-4),C(-1,3,1)$ の定める平面を $\alpha$ とする。点 $P(a,a,a)$ が平面 $\alpha$ 上にあるとき， $a$ の値は $\displaystyle a=\dfrac{\text{ソ}}{\text{タ}}$ である。点 $Q(b,c,-7)$ があり，直線 $AQ$ が平面 $\alpha$ に直交するとき， $b$ と $c$ の値はそれぞれ $b=\boxed{\text{チ}}$ ， $c=\boxed{\text{ツ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle a=\frac32,\qquad b=6,\qquad c=5.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,1)$ 、 $\overrightarrow{AC}=(-3,4,6)$ である。 $\boldsymbol n=(2,3,-1)$ とすると $\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{AB}=-2+3-1=0,\qquad \boldsymbol n\cdot\overrightarrow{AC}=-6+12-6=0,$ よって $\boldsymbol n$ は平面 $\alpha$ の法線ベクトルである。点 $A(2,-1,-5)$ を通る平面の方程式は $2(x-2)+3(y+1)-(z+5)=0, \quad\text{すなわち}\quad 2x+3y-z-6=0.$ 点 $P(a,a,a)$ を代入すると $4a-6=0$ より $a=3/2$ 。

直線 $AQ$ が平面 $\alpha$ に垂直なので、 $\overrightarrow{AQ}$ は法線ベクトルと平行である。従ってある実数 $\lambda$ に対し $(b-2,c+1,-2)=\lambda(2,3,-1).$ 第3成分から $\lambda=2$ 、よって $b-2=4$ 、 $c+1=6$ となり、 $b=6$ 、 $c=5$ 。

この問題で使う考え方

空間座標と空間ベクトル
ベクトルの内積
ベクトルの成分表示

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