東邦大学 2023年数学第9問解答・解説

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1問題

東邦大学2023年度第9問

共通指示：問題は1から10までの10問です。解答は解答用マークシートに記入してください。問題の文中の $\text{アイ}$ ， $\text{ウエオ}$ などには，符号 (-)，または数字 $(0\sim9)$ が入ります。ア，イ，ウ，…の一つひとつは，これらのいずれか一つに対応します。それらを解答用マークシートのア，イ，ウ，…で示された解答欄にマークして答えなさい。分数形で解答する場合は，それ以上約分できない形で答えなさい。また，符号は分子につけ，分母につけてはいけません。根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。

9 座標空間において，不等式 $\displaystyle \frac{10}{3}(x+y+z-7)\geq x^{2}+\frac{y^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{3}-7$ の表す立体を $E$ とする。 $E$ と平面 $z=t$ が交わるような定数 $t$ のとり得る値の範囲は $\boxed{\text{カ}}\leq t\leq\boxed{\text{キ}}$ である。また， $E$ の体積は $\displaystyle \dfrac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle 4\le t\le6,\qquad \operatorname{Vol}(E)=\frac{4\sqrt2}{9}\pi.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

与えられた不等式を整理し平方完成すると $\displaystyle \left(x-\frac53\right)^2+\frac12\left(y-\frac{10}{3}\right)^2+\frac13(z-5)^2\leq\frac13.$ したがって $z$ 座標の中心は $5$ 、半径は $1$ であり、平面 $z=t$ が立体と交わる範囲は $4\leq t\leq6$ 。

$u=z-5$ とすると、 $-1\leq u\leq1$ における水平断面は $\displaystyle 3\left(x-\frac53\right)^2+\frac32\left(y-\frac{10}{3}\right)^2\leq1-u^2$ である。これは半径（半軸）がそれぞれ $\sqrt{(1-u^2)/3}$ 、 $\sqrt{2(1-u^2)/3}$ の楕円なので、断面積は $\displaystyle A(u)=\frac{\sqrt2}{3}\pi(1-u^2).$ 従って断面積を積分して体積を求めると $\displaystyle \operatorname{Vol}(E)=\int_{-1}^1 A(u)\,du =\frac{\sqrt2\pi}{3}\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^1 =\frac{4\sqrt2}{9}\pi.$

この問題で使う考え方

定積分による体積
楕円

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