7東邦大学 2023年 数学 第7問解答・解説

共通指示：問題は1から10までの10問です。解答は解答用マークシートに記入してください。問題の文中の $\text{アイ}$，$\text{ウエオ}$ などには，符号 (-)，または数字 $(0\sim9)$ が入ります。ア，イ，ウ，…の一つひとつは，これらのいずれか一つに対応します。それらを解答用マークシートのア，イ，ウ，…で示された解答欄にマークして答えなさい。分数形で解答する場合は，それ以上約分できない形で答えなさい。また，符号は分子につけ，分母につけてはいけません。根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。

7 $m,n$ を自然数として，$\displaystyle S_{n}(m)=\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}k^{m}$ とする。このとき，$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{\{S_{n}(1)\}^{3}}{\{S_{n}(2)\}^{2}}=\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}},\qquad \lim\limits _{n\to\infty}\frac{\{S_{n}(3)\}^{3}}{\{S_{n}(5)\}^{2}}=\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}$$ が成り立つ。