5信州大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1)　 $\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^{n}a_k^2=2n^2+n$ とおき、$T_0=0$ とする。$n\geq1$ について $$a_n^2=T_n-T_{n-1} =(2n^2+n)-\{2(n-1)^2+(n-1)\} =4n-1.$$ すべての $a_n$ は正だから $$a_n=\sqrt{4n-1}.$$

(2)　 $g(x)=\sqrt{4x-1}$ とおく。$x\geq1$ で $g$ は増加関数であり、各整数 $k\geq1$ について $$\displaystyle g(k)\leq \int_k^{k+1}g(x)\,dx\leq g(k+1)$$ が成り立つ。これを足し合わせると $$\displaystyle \int_1^n g(x)\,dx\leq\sum\limits _{k=2}^{n}g(k)\leq S_n \leq\sum\limits _{k=1}^{n}g(k)\leq\int_1^{n+1}g(x)\,dx.$$ 置換 $u=4x-1$ により $$\displaystyle \int g(x)\,dx=\frac16(4x-1)^{3/2}$$ だから $$\displaystyle \frac{(4n-1)^{3/2}-3\sqrt3}{6} \leq S_n\leq \frac{(4n+3)^{3/2}-3\sqrt3}{6}.$$ $n\sqrt n=n^{3/2}$ で割ると $$\displaystyle \frac16\left(4-\frac1n\right)^{3/2} -\frac{3\sqrt3}{6n^{3/2}} \leq\frac{S_n}{n\sqrt n}\leq \frac16\left(4+\frac3n\right)^{3/2} -\frac{3\sqrt3}{6n^{3/2}}.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $8/6=4/3$ に収束する。したがってはさみうちの原理より $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{n\sqrt n}=\frac43}.$$